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Phénomènes d'évolution
Suites et fonctions — Tronc commun (Première générale)
🎯 Objectifs du chapitre
- Modéliser des évolutions discrètes (étape par étape) à l'aide de suites.
- Modéliser des évolutions continues à l'aide de fonctions.
- Différencier et manipuler trois grands modèles d'évolution :
- La variation linéaire (suites arithmétiques, fonctions affines).
- La modélisation quadratique (fonctions polynômes du second degré).
- La variation exponentielle (suites géométriques, fonctions exponentielles).
- Résoudre des problèmes de seuil (recherche du moment où une grandeur dépasse ou passe sous une valeur donnée).
I. Variation linéaire
La variation linéaire modélise une grandeur dont le taux d'accroissement est constant (augmentation ou diminution d'une quantité fixe à chaque étape ou sur chaque intervalle).
1. Modèle discret : Les suites arithmétiques
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un nombre réel r, appelé raison, tel que pour tout entier naturel n :
- Formule explicite : un = u0 + n×r (ou un = up + (n−p)×r)
-
Sens de variation :
- Si r > 0, la suite est strictement croissante.
- Si r < 0, la suite est strictement décroissante.
- Si r = 0, la suite est constante.
- Représentation graphique : Les points Mn(n ; un) sont alignés sur une droite de pente r.
2. Modèle continu : Les fonctions affines
Une fonction f définie sur ℝ est affine si elle s'écrit sous la forme :
- a est le coefficient directeur (taux d'accroissement constant).
- b est l'ordonnée à l'origine.
- Représentation graphique : Une droite passant par le point (0 ; b).
II. Modélisation quadratique
La modélisation quadratique intervient dans des phénomènes non linéaires simples présentant un extremum (maximum ou minimum), comme les trajectoires paraboliques en physique ou l'optimisation d'un chiffre d'affaires en économie.
1. Fonctions polynômes de degré 2
Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c (avec a ≠ 0).
-
Représentation graphique : La courbe représentative est une parabole possédant un axe de symétrie vertical.
- Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (forme en ∪), la fonction admet un minimum.
- Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas (forme en ∩), la fonction admet un maximum.
2. Formes particulières
- Forme de base / réduite simple : f(x) = ax² ou f(x) = ax² + c
-
Forme factorisée :
f(x) = a(x − x1)(x − x2)
- x1 et x2 sont les racines du polynôme (les solutions de f(x) = 0).
- L'axe de symétrie a pour équation x = (x1 + x2) / 2.
- Le tableau de signes s'obtient directement grâce au signe du coefficient a à l'extérieur des racines.
⚠️ Remarque au programme :
Le calcul des racines à l'aide du discriminant (Δ) n'est pas exigé dans ce tronc commun.
III. Variation exponentielle
La variation exponentielle modélise une grandeur dont le taux d'évolution (en pourcentage) est constant (multiplication par un même facteur à chaque étape).
1. Modèle discret : Les suites géométriques
Une suite (un) à termes strictement positifs est géométrique s'il existe un réel q > 0, appelé raison, tel que pour tout entier naturel n :
- Formule explicite : un = u0 × qn (ou un = up × qn−p)
-
Sens de variation (pour u0 > 0) :
- Si q > 1, la suite est strictement croissante (croissance exponentielle).
- Si 0 < q < 1, la suite est strictement décroissante (décroissance exponentielle).
- Lien avec les pourcentages : Une évolution au taux de +t% correspond à une raison q = 1 + t/100.
2. Modèle continu : Les fonctions exponentielles
La fonction exponentielle de base a (a > 0) est définie pour tout réel x ≥ 0 par :
-
Propriétés algébriques :
a0 = 1 et a1 = a
ax+y = ax × ay | ax−y = ax / ay | (ax)y = ax×y - Taux d'évolution moyen : Si une grandeur est multipliée par A au bout de n périodes, le taux d'évolution moyen par période correspond à la raison q = A1/n = n√A.
IV. Synthèse comparative des modèles
| Modèle | Expression discrète | Expression continue | Propriété clé |
|---|---|---|---|
| Linéaire | un = u0 + n·r | f(x) = ax + b | Ajout d'une même quantité à chaque étape. |
| Quadratique | — | f(x) = a(x−x1)(x−x2) | Présence d'un sommet (maximum ou minimum). |
| Exponentiel | un = u0 · qn | f(x) = ax | Multiplication par une même quantité (q > 0). |
Exemple d'exercice d'application
📝 Exercice 1 : Modèle linéaire et problème de seuil
Un placement financier A offre un capital initial de 1000 € au 1er janvier 2024, augmenté de 50 € chaque année (intérêts simples). On note un le capital l'année 2024+n.
- Déterminer la nature de la suite (un) et exprimer un en fonction de n.
- En quelle année le capital dépassera-t-il 1500 € ?
✅ Correction
- Chaque année, on ajoute une somme fixe de 50 €. (un) est donc une suite arithmétique de premier terme u0 = 1000 et de raison r = 50.
un = 1000 + 50n - On cherche le plus petit entier n tel que un > 1500 :
1000 + 50n > 1500 ⟹ 50n > 500 ⟹ n > 10
Pour n = 10, u10 = 1500 €. Le capital dépassera strictement 1500 € à n = 11, soit en 2035 (2024 + 11).
📝 Exercice 2 : Modèle exponentiel
Une population de bactéries compte 5000 individus au départ et augmente de 12% chaque heure.
- Justifier que la population vn au bout de n heures se modélise par une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
- Déterminer le nombre de bactéries au bout de 5 heures (arrondi à l'unité).
- Déterminer au bout de combien d'heures la population initiale aura au moins doublé.
✅ Correction
- Augmenter de 12% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur q = 1 + 12/100 = 1,12.
(vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = 5000 et de raison q = 1,12.
vn = 5000 × (1,12)n - Pour n = 5 :
v5 = 5000 × (1,12)5 ≈ 8811,7
Au bout de 5 heures, il y aura environ 8812 bactéries. - La population initiale est de 5000, elle aura doublé lorsqu'elle atteindra 10000. On teste les valeurs de n :
- Pour n = 6 : v6 = 5000 × (1,12)6 ≈ 9869
- Pour n = 7 : v7 = 5000 × (1,12)7 ≈ 11053