Cours de mathématiques (spécialité)

Ce cours rassemble les notions essentielles du programme de Première spécialité.

Pour chaque chapitre, il faut savoir :

• connaître les définitions et formules ;
• appliquer les méthodes classiques ;
• justifier les résultats ;
• savoir calculer sans calculatrice sur les calculs usuels ;
• interpréter graphiquement ou dans le contexte les résultats.

Définition d'une suite

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres :

Le nombre uₙ est appelé terme de rang n.

Définition explicite

On donne directement uₙ en fonction de n.

Définition par récurrence

On donne un premier terme et une relation permettant de calculer le suivant.

Suite arithmétique

Formule explicite

Si le premier terme est u₀ :

Si on connaît u₁ :

Sens de variation

• si r > 0, la suite est croissante ;
• si r < 0, elle est décroissante ;
• si r = 0, elle est constante.

Suite géométrique

Formule explicite

Modéliser une évolution

C'est un automatisme essentiel.

Augmentation de t %

Le coefficient multiplicateur est :

Exemple : augmentation de 8 % : 1 + 8/100 = 1,08

Diminution de t %

Exemple : diminution de 15 % : 1 − 0,15 = 0,85

Évolution répétée

Si une quantité uₙ augmente de 3 % chaque année :

C'est donc une suite géométrique de raison 1,03.

Premières notions de limite

L'idée de limite permet d'étudier le comportement d'une suite lorsque n devient très grand.

On peut écrire :

si les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de L.

Pour une suite géométrique :

• si |q| < 1, alors qⁿ → 0 ;
• si q > 1, qⁿ devient très grand ;
• pour q = 1, la suite est constante.

Une fonction polynôme du second degré s'écrit :

avec a ≠ 0.

Équation du second degré

On cherche les solutions de :

On calcule le discriminant :

Cas 1 : Δ > 0

Il y a deux solutions :

Cas 2 : Δ = 0

Il y a une solution double :

Cas 3 : Δ < 0

Il n'y a aucune solution réelle.

Exemple

Résoudre :

Ici : a = 1, b = −5, c = 6.

Donc :

Ainsi :

Donc : S = {2 ; 3}

Factorisation

Lorsque les racines sont x₁ et x₂ :

Exemple : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Signe d'un trinôme

Pour f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) avec x₁ < x₂, le signe est :

• du signe de a à l'extérieur des racines ;
• du signe opposé à a entre les racines.

Si a > 0 :

Si a < 0 :

Forme canonique

Un trinôme peut s'écrire :

avec :

Cette forme permet notamment de lire le sommet de la parabole : S(α ; β).

Variations d'un trinôme

Pour f(x) = ax² + bx + c, on utilise α = −b / (2a).

Si a > 0

• décroît jusqu'à α ;
• atteint un minimum ;
• croît après α.

Si a < 0

• croît jusqu'à α ;
• atteint un maximum ;
• décroît après α.

Optimisation

Une optimisation consiste à rechercher un maximum ou un minimum.

Méthode

1. Définir la quantité recherchée.
2. Exprimer cette quantité par une fonction.
3. Déterminer son domaine.
4. Étudier les variations.
5. Identifier le maximum ou le minimum.
6. Interpréter le résultat dans le contexte.

Taux de variation

Entre a et b, le taux de variation de f est :

Il correspond au coefficient directeur de la droite passant par A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)).

Nombre dérivé

Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), mesure la variation instantanée de la fonction au point d'abscisse a.

Géométriquement :

à la courbe au point d'abscisse a.

Dérivées usuelles

À connaître.

Plus généralement :

pour les puissances concernées par le programme.

Si u et v sont dérivables :

Déterminer les variations grâce à la dérivée

C'est une méthode fondamentale.

Règle

Sur un intervalle :

f'(x) = 0 peut correspondre à un extremum.

Pour étudier une fonction, on suit généralement une méthode structurée.

Méthode type

1. Déterminer l'ensemble de définition.
2. Calculer éventuellement les valeurs remarquables.
3. Calculer f'(x).
4. Étudier le signe de f'(x).
5. En déduire les variations.
6. Construire le tableau de variations.
7. Étudier les éventuelles intersections avec les axes.
8. Interpréter la courbe.

Tableau de variations

Un tableau de variations indique les intervalles où une fonction :

• monte ;
• descend ;
• possède un maximum ;
• possède un minimum.

Il faut toujours associer le tableau à des valeurs précises.

La fonction exponentielle est notée :

Elle est définie sur ℝ.

Propriétés fondamentales

Variations

Comme (eˣ)' = eˣ et que eˣ > 0, on obtient :

Lien avec les évolutions

Une augmentation répétée de q correspond naturellement à une suite géométrique : uₙ = u₀ · qⁿ.

La fonction exponentielle permet de généraliser ce type de croissance aux nombres réels.

Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct.

Pour un angle x, le point associé possède pour coordonnées :

Donc :

Valeurs remarquables

À connaître.

Identité fondamentale

C'est une formule fondamentale.

Parité

Le cosinus est une fonction paire.

Le sinus est une fonction impaire.

Périodicité

Définition

Un vecteur possède :

• une direction ;
• un sens ;
• une longueur appelée norme.

Le vecteur allant de A vers B est noté AB→.

Coordonnées d'un vecteur

Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors :

Norme d'un vecteur

Si u→ = (x ; y), alors :

Donc AB = ‖AB→‖.

Colinéarité

Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction.

Pour u→ = (x ; y) et v→ = (x' ; y'), ils sont colinéaires si :

Définition avec les coordonnées

Si u→ = (x ; y) et v→ = (x' ; y'), alors :

Orthogonalité

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si :

Produit scalaire et angle

On a également :

où θ est l'angle entre les deux vecteurs.

Cette formule permet notamment de déterminer un angle.

Équation d'une droite

Une droite non verticale peut s'écrire :

où :

• m est le coefficient directeur ;
• p est l'ordonnée à l'origine.

Coefficient directeur

Pour A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) avec x_A ≠ x_B :

Droites parallèles et perpendiculaires

Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.

Pour des droites non verticales, deux droites de coefficients directeurs m et m' sont perpendiculaires lorsque :

Probabilité d'un événement

Une probabilité est comprise entre 0 et 1 :

P(A) = 1 signifie que l'événement est certain.

P(A) = 0 signifie qu'il est impossible.

Événement contraire

L'événement contraire de A est noté Ā.

Probabilité conditionnelle

La probabilité de A sachant B est :

à condition que P(B) ≠ 0.

On peut donc obtenir :

Arbre pondéré

Dans un arbre :

• on multiplie le long d'une branche ;
• on additionne les chemins correspondant à un même événement.

Indépendance

Deux événements A et B sont indépendants si :

Une autre caractérisation est :

Formule des probabilités totales

Si A et Ā forment une partition :

Définition

Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.

On peut par exemple avoir X ∈ {0 ; 1 ; 2}.

La loi de probabilité donne :

La somme doit toujours être égale à 1 :

Espérance

Si X prend les valeurs x₁, …, xₙ, alors :

L'espérance correspond à une valeur moyenne théorique.

Variance

où :

Écart-type

L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance.

Variables

Après exécution, z vaut 7.

Condition

Attention à l'indentation.

Boucle for

Les valeurs affichées sont : 0, 1, 2, 3, 4.

Boucle while

La boucle continue tant que la condition est vraie.

Fonction

Alors carre(4) renvoie 16.

Listes

Une liste s'écrit entre crochets :

Le premier élément a l'indice 0 : L[0] renvoie 4.

Le troisième : L[2] renvoie 2.

Ajouter un élément

Parcourir une liste

Modifier les éléments

Exemple : calculer une suite

Pour u₀ = 3 et u_{n+1} = uₙ + 2, on peut écrire :

Le programme affiche les dix premiers termes.

Intervalles

Intersection

correspond aux éléments qui appartiennent à A et B.

Réunion

correspond aux éléments qui appartiennent à A ou B.

Complémentaire

Le complémentaire de A contient tous les éléments qui ne sont pas dans A.

En probabilités :

Implication

signifie : si P est vraie, alors Q est vraie.

Exemple : x > 2 ⇒ x > 0.

Équivalence

signifie que les deux propositions sont équivalentes.

Il faut démontrer les deux implications :

P ⇒ Q et Q ⇒ P.

Contraposée

La contraposée de P ⇒ Q est :

Une implication et sa contraposée sont équivalentes.

Réciproque

La réciproque de P ⇒ Q est :

Contre-exemple

Pour montrer qu'une affirmation universelle est fausse, un seul contre-exemple suffit.

Raisonnement par l'absurde

Pour démontrer une proposition P :

1. On suppose que P est fausse.
2. On montre que cette hypothèse conduit à une contradiction.
3. On conclut que P est vraie.

Ces calculs doivent devenir rapides.

Taux d'évolution

En pourcentage :

Coefficient multiplicateur

Augmentation de t % :

Diminution de t % :

Évolutions successives

On multiplie les coefficients.

Identités remarquables

Factorisation

Résoudre une équation du second degré

ax² + bx + c = 0

1. Identifier a, b, c.
2. Calculer Δ = b² − 4ac.
3. Étudier le signe de Δ.
4. Calculer les racines si elles existent.
5. Donner clairement l'ensemble des solutions.

Étudier les variations d'une fonction

1. Déterminer le domaine.
2. Calculer f'(x).
3. Résoudre f'(x) = 0.
4. Étudier le signe de f'(x).
5. Construire le tableau de signes.
6. En déduire le tableau de variations.
7. Calculer les valeurs aux points importants.

Résoudre un problème d'optimisation

1. Définir la variable.
2. Déterminer ses valeurs possibles.
3. Construire la fonction objectif.
4. Étudier ses variations.
5. Trouver l'extremum.
6. Vérifier que le résultat appartient au domaine.
7. Répondre avec une phrase adaptée au problème.

Résoudre un problème de probabilités

1. Identifier les événements.
2. Traduire les informations données en probabilités.
3. Construire éventuellement un arbre.
4. Multiplier sur une branche.
5. Additionner les branches correspondant à l'événement recherché.
6. Vérifier que le résultat est compris entre 0 et 1.
7. Interpréter.

Suites

Second degré

Dérivation

Exponentielle

Trigonométrie

Vecteurs

Produit scalaire

Droites

Probabilités

Variables aléatoires

1. Qu'est-ce que l'on me demande ?

Cherche le mot-clé :

• « terme » → suite ;
• « maximum/minimum » → variations/optimisation ;
• « racines » → second degré ;
• « pente/coefficient directeur » → droite ;
• « perpendiculaire » → produit scalaire ;
• « sachant que » → probabilité conditionnelle ;
• « moyenne théorique » → espérance ;
• « programme » → algorithmique/Python.

2. Quelles données possède-t-on ?

Écris-les explicitement.

3. Quelle formule correspond ?

Écris la formule avant de remplacer les valeurs.

4. Effectue le calcul

Garde les valeurs exactes autant que possible :

5. Vérifie le résultat

Demande-toi :

• Le signe est-il cohérent ?
• L'ordre de grandeur est-il cohérent ?
• Une probabilité est-elle bien entre 0 et 1 ?
• Une longueur est-elle positive ?
• Le résultat respecte-t-il le domaine de définition ?

6. Termine par une conclusion

Un résultat mathématique doit être relié à la question posée.