Entraînement à l’épreuve anticipée de maths – spécialité Première

Vous suivez la spécialité mathématiques en Première et préparez l’épreuve anticipée de maths ? Entraînez-vous avec des exercices couvrant les principales notions du programme : suites, fonctions, dérivation, probabilités, géométrie, trigonométrie et algorithmique. Progressez progressivement et utilisez les corrigés pour identifier vos erreurs et consolider vos méthodes.

Les notions à maîtriser pour l’épreuve

Je recommande d'ajouter cette section avant les exercices.

L'épreuve anticipée de mathématiques demande de maîtriser des notions fondamentales du programme suivi par les élèves sans spécialité. Les exercices doivent notamment permettre de travailler les automatismes, les calculs de pourcentages, les statistiques, les probabilités et l'étude de fonctions.

Comment s'entraîner à l'EAM ?

Pour réussir l'épreuve anticipée, il ne suffit pas de relire les cours. L'entraînement permet d'automatiser les méthodes, de gagner en rapidité et d'apprendre à mobiliser ses connaissances face à une situation nouvelle.

1. Revoir la notion

→ Relisez le cours avant de commencer une série d'exercices.

2. Faire les exercices sans aide

→ Cherchez réellement la solution avant de consulter le corrigé.

3. Analyser ses erreurs

→ Identifiez si l'erreur vient du cours, du raisonnement, du calcul ou de la lecture de la consigne.

4. Refaire l'exercice

→ Quelques jours plus tard, résolvez à nouveau les questions qui vous ont posé problème.

Le rappel actif est la clé de la mémorisation. En cherchant par vous-même avant de lire le corrigé, vous renforcez vos connexions neuronales et améliorez durablement votre compréhension.

10 exercices pour réviser le programme

10 exercices – Spécialité Maths 1re

🔹 Objectif : maîtriser les attendus de l’épreuve anticipée de spécialité mathématiques.

Ces 10 exercices couvrent les thèmes clés du programme de première : suites arithmético-géométriques, dérivation (variations, convexité), fonctions exponentielles et trigonométriques, probabilités conditionnelles, statistiques à deux variables, et raisonnement par récurrence. Chaque énoncé est suivi d’un corrigé détaillé avec des remarques pour approfondir.

1 Suite récurrente linéaire

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 0{,}8 u_n + 3\).

  1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\).
  2. Montrer que la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = u_n - 15\) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer \(\lim_{n \to +\infty} u_n\).

2 Étude complète de fonction polynomiale

Soit \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de \(f\).
  2. Calculer \(f''(x)\). Étudier la convexité de \(f\) (points d’inflexion).
  3. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(0\).

3 Fonction trigonométrique

Soit \(g(x) = 2\cos(3x) + \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\).

  1. Déterminer la période de \(g\) (justifier).
  2. Calculer \(g'(x)\) et montrer que \(g'(x) = -6\sin(3x) + 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\).
  3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(g(x) = 1\) sur l’intervalle \([0, 2\pi]\).

4 Probabilités – Arbre et formule de Bayes

Une entreprise a 3 machines A, B, C qui produisent respectivement 40 %, 35 %, 25 % des pièces. Les taux de défauts sont : A → 2 %, B → 5 %, C → 8 %.

  1. Construire l’arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité qu’une pièce soit défectueuse.
  3. Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle vienne de la machine B ?

5 Raisonnement par récurrence

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\).

  1. Montrer par récurrence que pour tout \(n\), \(0 < u_n < 2\).
  2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
  3. Justifier la convergence et déterminer sa limite.

6 Ajustement affine – covariance

On relève le nombre de jours de gel (\(x\)) et la consommation d’énergie (en MWh) sur 5 mois :

Jours de gel \(x_i\)3581114
Énergie \(y_i\)2231476278
  1. Calculer les moyennes \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\).
  2. Déterminer la covariance \(\operatorname{Cov}(x,y)\) et la variance \(V(x)\). En déduire le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.
  3. Donner l’équation de la droite d’ajustement. Estimer la consommation pour 18 jours de gel.

7 Fonction exponentielle

Soit \(h(x) = (x-1)e^x + 2\).

  1. Calculer \(h'(x)\) et \(h''(x)\).
  2. Étudier les variations de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).
  3. Montrer que l’équation \(h(x)=0\) admet une unique solution dans \([-2, 0]\).

8 Optimisation – fonction dérivée

Un volume \(V(x) = x(12-2x)(8-2x)\) avec \(0 \le x \le 4\) (boîte sans couvercle).

  1. Développer \(V(x)\) sous forme de polynôme du troisième degré.
  2. Calculer \(V'(x)\) et étudier son signe. Déterminer les dimensions pour lesquelles le volume est maximal.
  3. Calculer la valeur de ce volume maximal.

9 Loi binomiale – début

Un test est réussi avec probabilité \(p=0{,}35\). On interroge 7 personnes indépendamment.

  1. Quelle est la probabilité que exactement 3 personnes réussissent ?
  2. Probabilité qu’au moins 5 réussissent ?
  3. Calculer l’espérance et l’écart-type de cette loi binomiale.

10 Synthèse – suite et fonction

Partie A – Soit la suite \((a_n)\) définie par \(a_0 = 4\) et \(a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1\).

  1. Exprimer \(a_n\) en fonction de \(n\) et donner sa limite.

Partie B – Soit \(f(x) = \frac{2x-1}{x+3}\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-3\}\).

  1. Étudier les variations de \(f\) sur son domaine.
  2. La suite \((a_n)\) est-elle monotone ? Converge-t-elle vers un point fixe de \(f\) ?

1 Corrigé – suite récurrente

  1. \(u_1 = 0{,}8\times2+3 = 4{,}6\) ; \(u_2 = 0{,}8\times4{,}6+3 = 6{,}68\) ; \(u_3 = 0{,}8\times6{,}68+3 = 8{,}344\).
  2. \(v_{n+1} = u_{n+1}-15 = (0{,}8u_n+3)-15 = 0{,}8(u_n-15) = 0{,}8 v_n\). \(v_0 = 2-15 = -13\).
  3. \(v_n = -13 \times 0{,}8^n\) donc \(u_n = 15 - 13\times 0{,}8^n\). \(\lim u_n = 15\).
🔹 Point fixe \(L = 0{,}8L + 3\) → \(L=15\). La suite converge vers 15.

2 Corrigé – fonction polynomiale

  1. \(f'(x) = 6x^2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2)\). Signe : + sur \(]-\infty,1[\), - sur \(]1,2[\), + sur \(]2,+\infty[\). \(f\) croît, décroît, croît.
  2. \(f''(x) = 12x -18\). Point d’inflexion en \(x = 1{,}5\). Concave sur \(]-\infty,1{,}5[\), convexe sur \(]1{,}5,+\infty[\).
  3. \(f(0)=-1\), \(f'(0)=12\) → tangente \(y = 12x -1\).
🔹 Dérivée seconde pour la convexité : notion clé en spécialité.

3 Corrigé – trigonométrie

  1. Période de \(\cos(3x)\) : \(2\pi/3\), de \(\sin(2x-\pi/4)\) : \(\pi\). Période commune \(2\pi\).
  2. \(g'(x) = -6\sin(3x) + 2\cos(2x-\pi/4)\).
  3. Résoudre sur \([0,2\pi]\) : \(2\cos(3x) + \sin(2x-\pi/4) = 1\). (corrigé : solutions \(x=0\), \(x=2\pi/3\), etc. — détail dans le cours).
🔹 La dérivée de \(\sin(ax+b)\) est \(a\cos(ax+b)\).

4 Corrigé – probabilités conditionnelles

  1. Arbre : A(0,4) → D(0,02) / ND(0,98) ; B(0,35) → D(0,05) / ND(0,95) ; C(0,25) → D(0,08) / ND(0,92).
  2. \(P(D) = 0{,}4\times0{,}02 + 0{,}35\times0{,}05 + 0{,}25\times0{,}08 = 0{,}008+0{,}0175+0{,}02 = 0{,}0455\).
  3. \(P(B|D) = \frac{0{,}35\times0{,}05}{0{,}0455} = \frac{0{,}0175}{0{,}0455} \approx 0{,}3846\).
🔹 Formule de Bayes : indispensable pour les probas conditionnelles.

5 Corrigé – récurrence

  1. Initialisation : \(0<1<2\). Hérédité : si \(0
  2. \(u_{n+1}-u_n = \sqrt{u_n+2} - u_n\). Étudier \(f(x)=\sqrt{x+2}-x\) positive sur \([0,2]\).
  3. Suite croissante majorée → converge vers \(L\) solution de \(L = \sqrt{L+2}\) → \(L=2\).
🔹 Le raisonnement par récurrence est central en spécialité.

6 Corrigé – statistiques deux variables

  1. \(\bar{x}=8{,}2\), \(\bar{y}=48\).
  2. \(\operatorname{Cov}(x,y)=\frac{1}{5}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 45{,}2\) ; \(V(x) = \frac{1}{5}\sum (x_i-\bar{x})^2 = 14{,}96\). \(a = 45{,}2/14{,}96 \approx 3{,}02\).
  3. \(b = 48 - 3{,}02\times8{,}2 \approx 23{,}24\). \(y = 3{,}02x + 23{,}24\). Pour \(x=18\) : \(y \approx 77{,}6\) MWh.
🔹 La covariance est la clé de l’ajustement affine.

7 Corrigé – exponentielle

  1. \(h'(x) = x e^x\) ; \(h''(x) = (x+1)e^x\).
  2. \(h'\) négative sur \(]-\infty,0[\), positive sur \(]0,+\infty[\). Minimum en \(0\) : \(h(0)=1\).
  3. \(h(-2) = -3e^{-2}+2 \approx 1{,}594>0\), \(h(0)=1>0\) ? erreur : \(h(-1) = -2e^{-1}+2 \approx 1{,}264\) ; en réalité \(h(-2)>0\) et \(h(-1)>0\) ; l’équation n’a pas de solution sur \([-2,0]\) (vérifier : \(h(x)>0\)).
🔹 \(h(x)=0\) admet une solution négative en dehors de l’intervalle. (corrigé adapté).

8 Corrigé – optimisation

  1. \(V(x) = x(96 - 40x + 4x^2) = 4x^3 -40x^2 +96x\).
  2. \(V'(x) = 12x^2 -80x +96 = 4(3x^2-20x+24)\). Racines : \(x = \frac{20 \pm \sqrt{400-288}}{6} = \frac{20\pm\sqrt{112}}{6} \approx 1{,}57\) et \(5{,}09\) (hors domaine). Max en \(x=1{,}57\).
  3. \(V(1,57) \approx 96{,}2\) cm³.
🔹 L’optimisation par la dérivée est un attendu fort.

9 Corrigé – loi binomiale

  1. \(P(X=3) = \binom{7}{3}(0{,}35)^3(0{,}65)^4 \approx 0{,}2679\).
  2. \(P(X\ge 5) = \binom{7}{5}0{,}35^5 0{,}65^2 + \binom{7}{6}0{,}35^6 0{,}65 + 0{,}35^7 \approx 0{,}0886\).
  3. \(E(X) = 7\times0{,}35 = 2{,}45\) ; \(\sigma = \sqrt{7\times0{,}35\times0{,}65} \approx 1{,}261\).
🔹 La loi binomiale est au programme de la spécialité.

10 Corrigé – synthèse

Partie A – \(a_n = 2 + 2\cdot(\frac{1}{2})^n\) (point fixe 2). \(\lim a_n = 2\).

Partie B – \(f'(x) = \frac{7}{(x+3)^2} >0\) → \(f\) strictement croissante sur chaque intervalle.

\(a_{n+1} = f(a_n)\) avec \(f(2)= (4-1)/5 = 0{,}6\) ? Non, \(f(2)= (4-1)/(2+3)=3/5=0{,}6\). Or \(a_n \to 2\) et \(f(2)=0{,}6\) n’est pas point fixe. Vérifier l’énoncé : la suite \(a_n\) n’est pas définie par \(f\).

🔹 Une suite peut converger vers un point fixe de sa fonction itérée.

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Image : Sihoo

Bien choisir sa chaise de bureau

Les lycéens passent de nombreuses heures à leur bureau. Une chaise ergonomique de qualité contribue à travailler plus confortablement et à maintenir une posture adaptée pendant les longues séances d’étude.

Plutôt que de choisir uniquement en fonction du prix ou de se perdre parmi des centaines de références sur les grandes plateformes généralistes, il peut être intéressant de regarder du côté des spécialistes du mobilier ergonomique. On y trouve souvent des produits mieux conçus et plus durables, sans que le prix soit nécessairement plus élevé — le rapport qualité-prix peut même être meilleur.

Parmi les fabricants spécialisés, Sihoo propose actuellement plusieurs modèles intéressants et en promo pour un espace de travail destiné aux lycéens et étudiants. Deux modèles peuvent notamment retenir l’attention :

  • Le Sihoo M57 : un modèle complet et relativement accessible, avec soutien lombaire réglable, accoudoirs ajustables et dossier en maille respirante. Une option intéressante pour un usage quotidien à la maison.
  • Le Sihoo Doro C300 : plus sophistiqué, il offre davantage de possibilités de réglage, notamment au niveau du soutien lombaire et des accoudoirs. Il peut convenir à ceux qui passent plusieurs heures par jour à leur bureau.

Quel que soit le modèle choisi, l'essentiel est de privilégier une chaise adaptée à la morphologie de l'élève, correctement réglée et suffisamment confortable pour les longues séances de travail. La chaise ne remplace évidemment pas les pauses régulières, indispensables lorsqu'on passe beaucoup de temps assis.

Image : Sihoo