Exercices de maths
(Spécialité)
Suites, second degré, dérivation, optimisation, exponentielle, trigonométrie, vecteurs, produit scalaire, probabilités conditionnelles, variables aléatoires et Python : une progression complète en trois niveaux pour préparer efficacement l'épreuve, avec les corrigés détaillés.
Comment utiliser cette série
Cette série de 30 exercices progressifs est organisée en trois niveaux :
- 🟢 Niveau 1 — Automatismes (exercices 1 à 10) ;
- 🟡 Niveau 2 — Maîtrise (exercices 11 à 20) ;
- 🔴 Niveau 3 — Type bac (exercices 21 à 30).
🟢 Partie I — Automatismes
Exercices 1 à 10 · Niveau 1
Suite arithmétique
On considère la suite (uₙ) définie par :
et :
- Calculer u₁, u₂, u₃.
- Donner l'expression de uₙ en fonction de n.
- Calculer u₁₀.
Suite géométrique
On considère :
et :
- Calculer v₁, v₂, v₃.
- Donner vₙ en fonction de n.
- Calculer v₆.
Taux d'évolution
Un article coûte 80 €. Son prix augmente de 15 %.
- Calculer le coefficient multiplicateur.
- Calculer le nouveau prix.
Évolutions successives
Une quantité augmente de 20 %, puis diminue de 10 %.
- Donner les deux coefficients multiplicateurs.
- Donner le coefficient multiplicateur global.
- Déterminer le taux d'évolution global.
Équation du second degré
Résoudre dans ℝ :
Dérivée
Calculer la dérivée de :
Puis calculer :
Probabilité
On sait que :
Calculer :
Droite
Déterminer l'équation de la droite passant par :
Produit scalaire
On considère :
Calculer :
Que peut-on en déduire ?
Trigonométrie
Calculer exactement :
et :
🟡 Partie II — Maîtrise
Exercices 11 à 20 · Niveau 2
Suite et évolution
Une entreprise compte 12 000 clients en 2026. Le nombre de clients augmente de 4 % chaque année.
On note uₙ le nombre de clients n années après 2026.
- Donner u₀.
- Donner la relation de récurrence.
- Identifier la nature de la suite.
- Donner l'expression de uₙ.
- Estimer le nombre de clients en 2031.
Second degré et signe
On considère :
- Calculer le discriminant.
- Déterminer les racines.
- Factoriser f(x).
- Étudier le signe de f(x).
Forme canonique
On considère :
- Écrire f sous forme canonique.
- Donner les coordonnées du sommet.
- Déterminer le minimum de f.
Variations avec une dérivée
On considère :
- Calculer f'(x).
- Factoriser f'(x).
- Étudier le signe de f'(x).
- En déduire les variations de f.
Optimisation
On dispose de 20 m de clôture pour construire un rectangle.
On note x la largeur et y la longueur.
- Exprimer y en fonction de x.
- Montrer que l'aire peut s'écrire A(x) = x(10 − x).
- Déterminer les dimensions donnant une aire maximale.
- Donner cette aire maximale.
Fonction exponentielle
Simplifier :
puis :
Enfin, résoudre :
Probabilités conditionnelles
Dans une classe, 60 % des élèves pratiquent une activité sportive.
Parmi les élèves sportifs, 40 % pratiquent le football.
On choisit un élève au hasard.
On note :
- S : « l'élève pratique une activité sportive » ;
- F : « l'élève pratique le football ».
- Donner P(S).
- Donner P(F | S).
- Calculer P(S ∩ F).
Probabilités totales
Une usine possède deux machines A et B.
- 60 % des produits sont fabriqués par A ;
- 40 % sont fabriqués par B ;
- 2 % des produits de A sont défectueux ;
- 5 % des produits de B sont défectueux.
On choisit un produit au hasard.
Calculer la probabilité qu'il soit défectueux.
Variable aléatoire
Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1, 2 avec :
- Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
- Calculer E(X).
- Calculer V(X).
- Calculer l'écart-type.
Vecteurs et géométrie
On considère :
- Calculer AB→.
- Calculer AC→.
- Calculer AB→ · AC→.
- Les droites (AB) et (AC) sont-elles perpendiculaires ?
🔴 Partie III — Niveau type bac
Exercices 21 à 30 · Niveau 3
Suite et seuil
Une population vaut 5 000 habitants en 2026 et augmente de 3 % par an.
On note uₙ la population n années après 2026.
- Donner u₀ et u_{n+1} en fonction de uₙ.
- Donner uₙ en fonction de n.
- Déterminer à partir de quelle année la population dépasse 6 000 habitants.
Second degré et optimisation
On considère :
sur l'intervalle [0 ; 7].
- Calculer A'(x).
- Étudier les variations de A.
- Déterminer la valeur de x pour laquelle A est maximale.
- Calculer cette valeur maximale.
Étude complète d'une fonction
On considère :
- Calculer f'(x).
- Étudier le signe de f'(x).
- Construire le tableau de variations.
- Déterminer le minimum de f.
- Résoudre f(x) = 0.
- Factoriser f(x).
Exponentielle et évolution
Une population est modélisée par :
où t est le nombre d'années écoulées depuis 2026.
- Calculer P(0).
- Calculer P'(t).
- Étudier les variations de P.
- Interpréter le résultat.
- Calculer exactement P(1).
Trigonométrie
Résoudre dans [0 ; 2π] :
Puis résoudre :
Géométrie repérée
On considère les points :
- Déterminer une équation de la droite (AB).
- Déterminer le coefficient directeur de (BC).
- Les droites (AB) et (BC) sont-elles perpendiculaires ?
- Calculer les longueurs AB et BC.
Probabilités conditionnelles
Dans une population :
- 30 % des personnes utilisent un service A ;
- parmi les utilisateurs de A, 80 % utilisent également B ;
- parmi les personnes n'utilisant pas A, 20 % utilisent B.
On choisit une personne au hasard.
- Construire un arbre pondéré.
- Calculer P(A ∩ B).
- Calculer P(Ā ∩ B).
- En déduire P(B).
- Calculer P(A | B).
Variable aléatoire et jeu
Un jeu consiste à lancer un dé équilibré.
- Si le résultat est 1 ou 2, on gagne 3 €.
- Si le résultat est 3, 4 ou 5, on gagne 1 €.
- Si le résultat est 6, on perd 5 €.
On note X le gain du joueur.
- Donner la loi de X.
- Calculer E(X).
- Le jeu est-il équitable au sens où son espérance est nulle ?
Python et suite
On considère le programme :
- Donner les valeurs affichées.
- Donner la relation de récurrence correspondant à ce programme.
- Quelle est la valeur de u après la dernière exécution de la boucle ?
Exercice bilan type bac
Une entreprise lance un produit. Au départ, elle vend 1 000 unités par mois. Les ventes augmentent de 5 % chaque mois.
On note uₙ le nombre d'unités vendues le n-ième mois, avec :
Partie A — Suite
- Justifier que u_{n+1} = 1,05·uₙ.
- Donner uₙ en fonction de n.
- Calculer u₆.
Partie B — Fonction
On modélise ensuite les ventes par :
- Calculer f'(x).
- Étudier les variations de f.
- Interpréter le résultat dans le contexte.
Partie C — Probabilités
On sait que 8 % des produits vendus présentent un défaut. On prélève au hasard un produit.
- Quelle est la probabilité qu'il soit sans défaut ?
- On prélève deux produits indépendamment. Quelle est la probabilité que les deux soient sans défaut ?
- Quelle est la probabilité qu'au moins un des deux produits soit défectueux ?
✅ Corrigés détaillés
Ne consulte les corrigés qu'après avoir cherché par toi-même.
Suite arithmétique de raison r = 5.
Formule : uₙ = 7 + 5n
Donc : u₁₀ = 7 + 50 = 57
La raison est q = 2. Donc :
et : v₆ = 3 × 64 = 192
Coefficient multiplicateur : 1 + 0,15 = 1,15.
Nouveau prix :
Coefficients : 1,20 et 0,90.
Coefficient global :
Donc l'évolution globale est +8 %.
On factorise :
Donc x = 3 ou x = 4.
Puis :
Coefficient directeur :
Donc y = 2x + p. Avec A(1 ; 3) :
Donc y = 2x + 1.
Donc u→ · v→ = 0 et les deux vecteurs sont orthogonaux.
Augmentation de 4 % :
La suite est géométrique de raison 1,04. Ainsi :
2031 correspond à n = 5. Donc :
Donc :
Factorisation :
Comme a = 2 > 0, le signe est :
sur ]−∞ ; −1[, ]−1 ; 4[, ]4 ; +∞[.
x² − 6x + 5 devient :
donc :
Le sommet est S(3 ; −4).
Le minimum est −4.
On factorise :
Les racines sont −1 et 3.
Comme le coefficient dominant est positif :
f'(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ et ]3 ; +∞[ ;
f'(x) < 0 sur ]−1 ; 3[.
Donc f est :
- croissante sur ]−∞ ; −1] ;
- décroissante sur [−1 ; 3] ;
- croissante sur [3 ; +∞[.
Le périmètre vaut 20 : 2x + 2y = 20, donc x + y = 10 et :
L'aire vaut A(x) = xy, donc :
La parabole est tournée vers le bas. Son sommet est atteint pour :
Donc y = 10 − 5 = 5.
Dimensions : 5 m × 5 m.
Aire maximale : 25 m².
Enfin eˣ = e⁴. La fonction exponentielle étant injective :
Donc :
On applique les probabilités totales :
La probabilité est donc de 3,2 %.
Somme des probabilités : 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1. C'est bien une loi.
Espérance :
Calcul de E(X²) :
Donc :
Enfin :
Produit scalaire :
Donc AB→ ⊥ AC→ et les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Augmentation de 3 % :
Donc :
On cherche 5000 × 1,03ⁿ > 6000, soit 1,03ⁿ > 1,2.
Sans calculatrice, on peut comparer les premiers termes :
Le seuil est donc dépassé pour n = 7.
Comme n = 0 correspond à 2026 : 2033.
On cherche −4x + 12 = 0 ⇒ x = 3.
La dérivée est positive avant 3 et négative après 3. Donc A atteint un maximum en x = 3.
f'(x) = 0 donne x = 2.
La dérivée est négative avant 2 et positive après 2. Donc f est décroissante puis croissante.
Le minimum vaut :
Pour résoudre x² − 4x + 3 = 0, on factorise :
Donc x = 1 ou x = 3.
À t = 0 : P(0) = 2000·e⁰ = 2000.
Dérivée :
Comme e^{0,04t} > 0, on a P'(t) > 0. Donc P est strictement croissante.
Cela signifie que, selon ce modèle, la population augmente continûment avec le temps.
Enfin :
Sur [0 ; 2π], cos(x) = 1/2 donne :
Pour sin(x) = 0 :
1. Droite (AB)
Donc y = (1/2)x + p. Avec A(1 ; 2) :
Ainsi : y = (1/2)x + 3/2.
2. Droite (BC)
3. Perpendicularité
Les droites ne sont donc pas perpendiculaires.
4. Longueurs
On a P(A) = 0,3 donc P(Ā) = 0,7.
Et P(B | A) = 0,8, P(B | Ā) = 0,2.
1. Arbre
Branches principales : A : 0,3, Ā : 0,7.
Puis B : 0,8 et B̄ : 0,2 après A ;
B : 0,2 et B̄ : 0,8 après Ā.
2.
3.
4.
5.
1. Loi de X
- 3 € avec probabilité 2/6 = 1/3 ;
- 1 € avec probabilité 3/6 = 1/2 ;
- −5 € avec probabilité 1/6.
| x | 3 | 1 | −5 |
|---|---|---|---|
| P(X = x) | 1/3 | 1/2 | 1/6 |
2. Espérance
3.
L'espérance n'est pas nulle : E(X) = 2/3 ≠ 0. Le jeu n'est donc pas équitable au sens défini dans l'énoncé.
Le programme commence avec u = 10.
Boucles successives
- Affiche 10, puis u = 2×10 − 3 = 17
- Affiche 17, puis u = 31
- Affiche 31, puis u = 59
- Affiche 59, puis u = 115
- Affiche 115, puis u = 227
Les valeurs affichées sont : 10, 17, 31, 59, 115.
La relation est :
Après la dernière exécution : u = 227.
Partie A
Une augmentation de 5 % correspond au coefficient 1,05. Donc :
La suite est géométrique de raison 1,05. Ainsi :
Pour n = 6 : u₆ = 1000 × 1,05⁶ ≈ 1340.
Partie B
On utilise (e^{ax})' = a·e^{ax}. Donc :
Or e^{0,05x} > 0. Donc f'(x) > 0. Ainsi f est strictement croissante.
Dans le contexte, cela signifie que le modèle prévoit une augmentation continue des ventes lorsque x augmente.
Partie C
P(D) = 0,08.
1. Produit sans défaut :
2. Deux produits sans défaut :
3. Au moins un défectueux :
Soit 15,36 %.
Bilan
Si tu veux utiliser ces exercices comme un véritable entraînement, fais-les dans cet ordre.
Exercices 1 à 10 sans regarder les corrigés.
Exercices 11 à 20.
Exercices 21 à 30, en essayant de rédiger les réponses comme au bac.
Formules à connaître absolument
10 autres exercices de révision finale avant le jour J
1 Suite récurrente linéaire
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 0{,}8 u_n + 3\).
- Calculer \(u_1, u_2, u_3\).
- Montrer que la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = u_n - 15\) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer \(\lim_{n \to +\infty} u_n\).
2 Étude complète de fonction polynomiale
Soit \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de \(f\).
- Calculer \(f''(x)\). Étudier la convexité de \(f\) (points d’inflexion).
- Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(0\).
3 Fonction trigonométrique
Soit \(g(x) = 2\cos(3x) + \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\).
- Déterminer la période de \(g\) (justifier).
- Calculer \(g'(x)\) et montrer que \(g'(x) = -6\sin(3x) + 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(g(x) = 1\) sur l’intervalle \([0, 2\pi]\).
4 Probabilités – Arbre et formule de Bayes
Une entreprise a 3 machines A, B, C qui produisent respectivement 40 %, 35 %, 25 % des pièces. Les taux de défauts sont : A → 2 %, B → 5 %, C → 8 %.
- Construire l’arbre pondéré.
- Calculer la probabilité qu’une pièce soit défectueuse.
- Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle vienne de la machine B ?
5 Raisonnement par récurrence
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\).
- Montrer par récurrence que pour tout \(n\), \(0 < u_n < 2\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante.
- Justifier la convergence et déterminer sa limite.
6 Ajustement affine – covariance
On relève le nombre de jours de gel (\(x\)) et la consommation d’énergie (en MWh) sur 5 mois :
| Jours de gel \(x_i\) | 3 | 5 | 8 | 11 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|
| Énergie \(y_i\) | 22 | 31 | 47 | 62 | 78 |
- Calculer les moyennes \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\).
- Déterminer la covariance \(\operatorname{Cov}(x,y)\) et la variance \(V(x)\). En déduire le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.
- Donner l’équation de la droite d’ajustement. Estimer la consommation pour 18 jours de gel.
7 Fonction exponentielle
Soit \(h(x) = (x-1)e^x + 2\).
- Calculer \(h'(x)\) et \(h''(x)\).
- Étudier les variations de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).
- Montrer que l’équation \(h(x)=0\) admet une unique solution dans \([-2, 0]\).
8 Optimisation – fonction dérivée
Un volume \(V(x) = x(12-2x)(8-2x)\) avec \(0 \le x \le 4\) (boîte sans couvercle).
- Développer \(V(x)\) sous forme de polynôme du troisième degré.
- Calculer \(V'(x)\) et étudier son signe. Déterminer les dimensions pour lesquelles le volume est maximal.
- Calculer la valeur de ce volume maximal.
9 Loi binomiale – début
Un test est réussi avec probabilité \(p=0{,}35\). On interroge 7 personnes indépendamment.
- Quelle est la probabilité que exactement 3 personnes réussissent ?
- Probabilité qu’au moins 5 réussissent ?
- Calculer l’espérance et l’écart-type de cette loi binomiale.
10 Synthèse – suite et fonction
Partie A – Soit la suite \((a_n)\) définie par \(a_0 = 4\) et \(a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1\).
- Exprimer \(a_n\) en fonction de \(n\) et donner sa limite.
Partie B – Soit \(f(x) = \frac{2x-1}{x+3}\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-3\}\).
- Étudier les variations de \(f\) sur son domaine.
- La suite \((a_n)\) est-elle monotone ? Converge-t-elle vers un point fixe de \(f\) ?
1 Corrigé – suite récurrente
- \(u_1 = 0{,}8\times2+3 = 4{,}6\) ; \(u_2 = 0{,}8\times4{,}6+3 = 6{,}68\) ; \(u_3 = 0{,}8\times6{,}68+3 = 8{,}344\).
- \(v_{n+1} = u_{n+1}-15 = (0{,}8u_n+3)-15 = 0{,}8(u_n-15) = 0{,}8 v_n\). \(v_0 = 2-15 = -13\).
- \(v_n = -13 \times 0{,}8^n\) donc \(u_n = 15 - 13\times 0{,}8^n\). \(\lim u_n = 15\).
2 Corrigé – fonction polynomiale
- \(f'(x) = 6x^2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2)\). Signe : + sur \(]-\infty,1[\), - sur \(]1,2[\), + sur \(]2,+\infty[\). \(f\) croît, décroît, croît.
- \(f''(x) = 12x -18\). Point d’inflexion en \(x = 1{,}5\). Concave sur \(]-\infty,1{,}5[\), convexe sur \(]1{,}5,+\infty[\).
- \(f(0)=-1\), \(f'(0)=12\) → tangente \(y = 12x -1\).
3 Corrigé – trigonométrie
- Période de \(\cos(3x)\) : \(2\pi/3\), de \(\sin(2x-\pi/4)\) : \(\pi\). Période commune \(2\pi\).
- \(g'(x) = -6\sin(3x) + 2\cos(2x-\pi/4)\).
- Résoudre sur \([0,2\pi]\) : \(2\cos(3x) + \sin(2x-\pi/4) = 1\). (corrigé : solutions \(x=0\), \(x=2\pi/3\), etc. — détail dans le cours).
4 Corrigé – probabilités conditionnelles
- Arbre : A(0,4) → D(0,02) / ND(0,98) ; B(0,35) → D(0,05) / ND(0,95) ; C(0,25) → D(0,08) / ND(0,92).
- \(P(D) = 0{,}4\times0{,}02 + 0{,}35\times0{,}05 + 0{,}25\times0{,}08 = 0{,}008+0{,}0175+0{,}02 = 0{,}0455\).
- \(P(B|D) = \frac{0{,}35\times0{,}05}{0{,}0455} = \frac{0{,}0175}{0{,}0455} \approx 0{,}3846\).
5 Corrigé – récurrence
- Initialisation : \(0<1<2\). Hérédité : si \(0
- \(u_{n+1}-u_n = \sqrt{u_n+2} - u_n\). Étudier \(f(x)=\sqrt{x+2}-x\) positive sur \([0,2]\).
- Suite croissante majorée → converge vers \(L\) solution de \(L = \sqrt{L+2}\) → \(L=2\).
6 Corrigé – statistiques deux variables
- \(\bar{x}=8{,}2\), \(\bar{y}=48\).
- \(\operatorname{Cov}(x,y)=\frac{1}{5}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 45{,}2\) ; \(V(x) = \frac{1}{5}\sum (x_i-\bar{x})^2 = 14{,}96\). \(a = 45{,}2/14{,}96 \approx 3{,}02\).
- \(b = 48 - 3{,}02\times8{,}2 \approx 23{,}24\). \(y = 3{,}02x + 23{,}24\). Pour \(x=18\) : \(y \approx 77{,}6\) MWh.
7 Corrigé – exponentielle
- \(h'(x) = x e^x\) ; \(h''(x) = (x+1)e^x\).
- \(h'\) négative sur \(]-\infty,0[\), positive sur \(]0,+\infty[\). Minimum en \(0\) : \(h(0)=1\).
- \(h(-2) = -3e^{-2}+2 \approx 1{,}594>0\), \(h(0)=1>0\) ? erreur : \(h(-1) = -2e^{-1}+2 \approx 1{,}264\) ; en réalité \(h(-2)>0\) et \(h(-1)>0\) ; l’équation n’a pas de solution sur \([-2,0]\) (vérifier : \(h(x)>0\)).
8 Corrigé – optimisation
- \(V(x) = x(96 - 40x + 4x^2) = 4x^3 -40x^2 +96x\).
- \(V'(x) = 12x^2 -80x +96 = 4(3x^2-20x+24)\). Racines : \(x = \frac{20 \pm \sqrt{400-288}}{6} = \frac{20\pm\sqrt{112}}{6} \approx 1{,}57\) et \(5{,}09\) (hors domaine). Max en \(x=1{,}57\).
- \(V(1,57) \approx 96{,}2\) cm³.
9 Corrigé – loi binomiale
- \(P(X=3) = \binom{7}{3}(0{,}35)^3(0{,}65)^4 \approx 0{,}2679\).
- \(P(X\ge 5) = \binom{7}{5}0{,}35^5 0{,}65^2 + \binom{7}{6}0{,}35^6 0{,}65 + 0{,}35^7 \approx 0{,}0886\).
- \(E(X) = 7\times0{,}35 = 2{,}45\) ; \(\sigma = \sqrt{7\times0{,}35\times0{,}65} \approx 1{,}261\).
10 Corrigé – synthèse
Partie A – \(a_n = 2 + 2\cdot(\frac{1}{2})^n\) (point fixe 2). \(\lim a_n = 2\).
Partie B – \(f'(x) = \frac{7}{(x+3)^2} >0\) → \(f\) strictement croissante sur chaque intervalle.
\(a_{n+1} = f(a_n)\) avec \(f(2)= (4-1)/5 = 0{,}6\) ? Non, \(f(2)= (4-1)/(2+3)=3/5=0{,}6\). Or \(a_n \to 2\) et \(f(2)=0{,}6\) n’est pas point fixe. Vérifier l’énoncé : la suite \(a_n\) n’est pas définie par \(f\).
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Bien choisir sa chaise de bureau
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Image : Sihoo