Cours de Maths
(sans spécialité)
Pourcentages, taux d'évolution, fonctions affines, statistiques à une et deux variables, probabilités conditionnelles, suites arithmétiques et géométriques, modélisation : retrouvez l'essentiel du programme de l'épreuve anticipée de mathématiques, avec formules, exemples et erreurs classiques à éviter.
À connaître
Conversions de pourcentages essentiels :
Taux d'évolution
Si une quantité passe de Vᵢ à V_f, le taux d'évolution est :
En pourcentage :
Un prix passe de 80 € à 92 €.
Donc : t = 15 %
Le prix a augmenté de 15 %.
Coefficient multiplicateur
Pour une augmentation de t :
Pour une diminution de t :
avec t exprimé sous forme décimale.
Augmentation de 20 % :
Donc : V_f = 1,20 Vᵢ
Diminution de 20 % :
Donc : V_f = 0,80 Vᵢ
Retrouver la valeur initiale
Si une quantité augmente de 25 % et devient 100 :
Donc :
Évolutions successives
Deux évolutions successives ne s'additionnent pas en général.
Une augmentation de 10 %, puis une augmentation de 20 % donne :
soit une augmentation globale de :
et non 30 %.
Fonctions
Une fonction associe à un nombre x un nombre f(x).
On écrit :
ou simplement : y = f(x)
Image
Si f(x) = 2x + 3, alors l'image de 4 est :
Donc : f(4) = 11
Antécédent
Chercher l'antécédent de 11 revient à résoudre :
Avec f(x) = 2x + 3, on cherche :
Donc 4 est l'antécédent de 11.
- Calculer f(4) → chercher l'image de 4.
- Résoudre f(x) = 4 → chercher les antécédents de 4.
Fonctions affines
Une fonction affine est de la forme :
- a = coefficient directeur ;
- b = ordonnée à l'origine.
Variation
- Si a > 0 : la fonction est croissante.
- Si a < 0 : elle est décroissante.
- Si a = 0 : elle est constante.
Comme 3 > 0, f est croissante.
Déterminer un coefficient directeur
Avec deux points :
le coefficient directeur est :
A(1 ; 3) et B(3 ; 7).
Lire un graphique
Savoir lire un graphique est essentiel.
Pour trouver une image
On part de x, on monte/descend jusqu'à la courbe, puis on lit y.
Pour trouver un antécédent
On part de y, on rejoint la courbe, puis on lit x.
Pour étudier les variations
- La courbe monte → fonction croissante.
- La courbe descend → fonction décroissante.
Statistiques à une variable
On étudie une série de données :
Moyenne
Notes : 10, 12, 14
Moyenne pondérée
Si les valeurs ont des effectifs :
| Note | Effectif |
|---|---|
| 10 | 2 |
| 15 | 3 |
Médiane
La médiane partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif.
La valeur centrale est : 9
Quartiles
- Q₁ : au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales ;
- Q₃ : au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
L'écart interquartile est :
Il mesure la dispersion de la moitié centrale des données.
Statistiques à deux variables
On étudie deux caractères simultanément.
Exemple :
- x = température ;
- y = consommation d'énergie.
On peut représenter les données par un nuage de points.
Corrélation
- Si les points suivent une droite montante : association positive.
- Si les points suivent une droite descendante : association négative.
- Si les points sont très dispersés : association linéaire faible ou inexistante.
Ajustement affine
On peut chercher une droite :
permettant de modéliser approximativement les données.
Elle peut servir à :
- estimer une valeur ;
- interpoler ;
- extrapoler.
Interpolation : estimer une valeur à l'intérieur de l'intervalle observé.
Extrapolation : estimer une valeur en dehors de l'intervalle observé. L'extrapolation est généralement plus incertaine.
Probabilités
Probabilité d'un événement
Pour un événement A :
- P(A) = 0 : événement impossible ;
- P(A) = 1 : événement certain.
Événement contraire
L'événement contraire de A est noté Ā.
Si P(A) = 0,7, alors :
Probabilités conditionnelles
La probabilité de A sachant B est :
à condition que P(B) ≠ 0.
Dans une classe, 60 % des élèves sont des filles. Parmi les filles, 50 % pratiquent un sport.
Cela signifie : parmi les filles, 50 % pratiquent un sport.
Arbres de probabilités
Un arbre permet de représenter des probabilités conditionnelles.
Si P(A) = 0,4 et P(B | A) = 0,7, alors :
- Le long d'une branche : on multiplie.
- Entre plusieurs branches correspondant à des cas incompatibles : on additionne.
Indépendance
Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.
On peut utiliser :
ou :
lorsque les probabilités sont définies.
Si P(A) = 0,4 et P(B) = 0,5 et qu'ils sont indépendants :
Suites
Une suite est une succession de nombres :
ou :
Le nombre uₙ est appelé terme de rang n.
Suite arithmétique
Une suite est arithmétique lorsque l'on ajoute toujours le même nombre.
r est la raison.
La raison est : r = 3
Formule explicite
Si le premier terme est u₀ :
Si le premier terme est u₁ :
u₀ = 5, r = 3
Suite géométrique
Une suite est géométrique lorsque l'on multiplie toujours par le même nombre.
q est la raison.
On multiplie toujours par 3 : q = 3
Formule explicite
si le premier terme est u₀.
u₀ = 2, q = 3
Évolutions et suites
Les suites sont particulièrement utiles pour modéliser des évolutions répétées.
Augmentation de 5 % par période
Coefficient multiplicateur :
Donc :
C'est une suite géométrique.
Diminution de 10 %
Modélisation
C'est une compétence essentielle. Il faut être capable de transformer une situation réelle en modèle mathématique.
Une population de 1 000 individus augmente de 3 % chaque année.
Coefficient multiplicateur : 1,03
Donc :
Ainsi :
Le modèle permet ensuite d'estimer la population après n années.
Calculs sans calculatrice à maîtriser
Pour l'épreuve, entraîne-toi particulièrement sur :
Fractions
Puissances
Pourcentages
Fractions et décimaux utiles
Les erreurs classiques à éviter
❌ Confondre augmentation et valeur finale
Une augmentation de 20 % signifie multiplier par :
et non par 0,20.
❌ Additionner des pourcentages successifs
+20 %, puis +10 % :
donc +32 %, pas +30 %.
❌ Confondre image et antécédent
signifie :
- 7 est l'image de 3 ;
- 3 est un antécédent de 7.
❌ Inverser une probabilité conditionnelle
P(A | B) n'est pas nécessairement P(B | A).
❌ Oublier le contexte
Une réponse mathématique doit souvent être accompagnée d'une phrase : « La population modélisée est donc d'environ 1 250 habitants. »
Méthode pour les exercices
Pour quasiment tous les exercices, utilise cette structure :
Qu'est-ce qui est donné ?
Par exemple : uₙ = population après n années.
Par exemple : u_{n+1} = 1,03 uₙ
Effectue le calcul en gardant une forme exacte autant que possible.
Explique ce que signifie le résultat dans le contexte.
Fiche « à connaître par cœur »
| Thème | Formule / notion essentielle |
|---|---|
| Taux d'évolution | (V_f − Vᵢ) / Vᵢ |
| Coefficient augmentation | 1 + t |
| Coefficient diminution | 1 − t |
| Évolutions successives | Multiplier les coefficients |
| Fonction affine | f(x) = ax + b |
| Coefficient directeur | (y_B − y_A) / (x_B − x_A) |
| Moyenne | Σxᵢ / n |
| Probabilité contraire | P(Ā) = 1 − P(A) |
| Probabilité conditionnelle | P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) |
| Intersection | P(A ∩ B) |
| Indépendance | P(A ∩ B) = P(A)P(B) |
| Suite arithmétique | u_{n+1} = uₙ + r |
| Suite arithmétique explicite | uₙ = u₀ + n·r |
| Suite géométrique | u_{n+1} = q·uₙ |
| Suite géométrique explicite | uₙ = u₀·qⁿ |
| Moyenne pondérée | Σnᵢxᵢ / Σnᵢ |
| Écart interquartile | Q₃ − Q₁ |
⭐ Priorités de révision
Si tu as peu de temps, maîtrise dans cet ordre :
- Pourcentages et taux d'évolution
- Lecture de fonctions et graphiques
- Statistiques
- Probabilités et probabilités conditionnelles
- Suites et évolutions
- Statistiques à deux variables et ajustement affine
- Automatismes de calcul
Quiz de vérification
Testez votre maîtrise des notions essentielles.
Quel téléphone choisir pour un lycéen ?
Choisir un téléphone ne consiste pas forcément à prendre le modèle le plus cher ou celui qui possède le plus gros appareil photo. Un smartphone de lycéen doit surtout être fiable, suffisamment puissant, autonome et adapté au budget.
Entre les cours, les messages, les réseaux sociaux, les photos, la musique, les vidéos, les transports et parfois quelques jeux, les besoins sont nombreux. Mais il n'est généralement pas nécessaire de dépenser 1 000 € pour avoir un téléphone capable de tout faire correctement.
À lire : notre article sur les principaux critères à regarder avant de choisir un téléphone pour un lycéen.