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Phénomènes aléatoires

Probabilités — Tronc commun (Première générale)

Objectifs du chapitre

Comprendre et calculer des probabilités conditionnelles.
Représenter une situation aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré ou d'un tableau croisé d'effectifs.
Définir et utiliser la notion d'indépendance entre deux événements.
Modéliser la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (n ≤ 4).

I. Probabilités conditionnelles

1. Définition et formule

Soit A et B deux événements d'un même univers Ω, avec P(A) ≠ 0.

La probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé, notée P_A(B) (ou P(B|A)), est donnée par :

P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A)

⚠️ Attention à ne pas confondre :

P(A ∩ B) : probabilité que A et B se réalisent simultanément (par rapport à la population totale).
P_A(B) : probabilité que B se réalise sachant que A est déjà réalisé (on restreint la population au groupe A).

2. Formule des probabilités composées

De la définition précédente, on déduit la formule permettant de calculer l'intersection :

P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)

De manière analogue, si P(B) ≠ 0 :

P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A)

II. Outils de représentation

1. L'arbre pondéré de probabilités

Un arbre pondéré permet de visualiser l'enchaînement des événements.

📌 [Schéma d'un arbre pondéré à 2 niveaux]

📌 Règles fondamentales de l'arbre pondéré :

Règle des nœuds : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
P(A) + P(Ā) = 1 et P_A(B) + P_A(B̄) = 1
Règle des chemins : La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches de ce chemin.
P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)
Formule des probabilités totales : La probabilité d'un événement B est la somme des probabilités des chemins menant à B.
P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) = P(A)×P_A(B) + P(Ā)×P_Ā(B)

2. Le tableau croisé d'effectifs ou de fréquences

Dans un tableau croisé, les probabilités se lisent directement :

	B	B̄	Total
A	P(A ∩ B)	P(A ∩ B̄)	P(A)
Ā	P(Ā ∩ B)	P(Ā ∩ B̄)	P(Ā)
Total	P(B)	P(B̄)	1

Pour trouver P_A(B), on effectue le rapport :

P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A)

III. Indépendance de deux événements

1. Définition

Deux événements A et B (de probabilités non nulles) sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre.

Cela signifie que :

P_A(B) = P(B) ou de manière équivalente P_B(A) = P(A)

2. Propriété (Caractérisation de l'indépendance)

A et B sont indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

IV. Répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes

1. Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues contraires :

Le « Succès » (S), de probabilité p.
L'« Échec » (S̄), de probabilité 1 − p.

2. Répétition d'épreuves indépendantes (n ≤ 4)

Lorsque l'on répète n fois de manière identique et indépendante une même épreuve de Bernoulli, la situation se modélise par un arbre à n niveaux.

⭐ Propriété :

Comme les épreuves sont indépendantes, les probabilités sur les branches restent identiques à chaque étape (pas de dépendance envers les résultats précédents).

Exemple d'exercice d'application

📝 Énoncé

Dans une entreprise, 40% des employés sont des femmes (F).

Parmi les femmes, 20% occupent un poste de cadre (C).
Parmi les hommes (F̄), 30% occupent un poste de cadre (C).

Modéliser la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité qu'un employé choisi au hasard soit une femme cadre : P(F ∩ C).
Calculer la probabilité globale qu'un employé choisi au hasard soit un cadre : P(C).
Sachant qu'un employé choisi est un cadre, quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
Les événements F et C sont-ils indépendants ?