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Analyse de l'information chiffrée
Statistique bivariée — Tronc commun (Première générale)
🎯 Objectifs du chapitre
- Savoir organiser et croiser deux caractères (statistique bivariée).
- Utiliser et analyser des données sous forme de tableaux d'effectifs, diagrammes et nuages de points.
- Réaliser un ajustement affine pour modéliser une tendance et estimer des valeurs inconnues (interpolation et extrapolation).
I. Croisement de deux caractères qualitatifs
Lorsque l'on étudie simultanément deux caractères qualitatifs (ex. : genre et pratique d'un sport, ou groupe sanguin et facteur Rhésus) sur une même population, on regroupe les données dans un tableau croisé d'effectifs (ou tableau à double entrée).
1. Tableau croisé d'effectifs
Soit une population de N individus.
- En ligne : les modalités du premier caractère.
- En colonne : les modalités du second caractère.
- Les cases centrales contiennent les effectifs conjoints (nombre d'individus présentant à la fois la modalité Ai et la modalité Bj).
- La dernière ligne et la dernière colonne indiquent les effectifs marginaux (totaux par ligne ou par colonne).
Exemple :
Enquête auprès de 200 personnes sur le mode de transport principal selon la tranche d'âge.
| Tranche d'âge / Transport | Transport en commun (T) | Véhicule individuel (V) | Total marginal |
|---|---|---|---|
| Jeunes (J) | 70 | 30 | 100 |
| Adultes (A) | 40 | 60 | 100 |
| Total marginal | 110 | 90 | 200 |
2. Représentations graphiques
Pour visualiser la répartition croisée de deux caractères qualitatifs, on utilise principalement :
- Les diagrammes en barres empilées ou juxtaposées : permettent de comparer visuellement les fréquences ou effectifs de chaque groupe.
- Les diagrammes circulaires comparatifs.
II. Croisement de deux caractères quantitatifs
Lorsque l'on mesure deux caractères numériques (ex. : taille et poids, ou température et consommation d'énergie), la série statistique est constituée de couples de valeurs (xi ; yi).
1. Nuage de points
Dans un repère orthogonal, la représentation de l'ensemble des points Mi(xi ; yi) constitue un nuage de points.
- Interprétation : Si le nuage présente une forme allongée dans une direction particulière, il existe une corrélation (une relation) entre les deux variables X et Y.
2. Point moyen G
Le point moyen du nuage, noté G, a pour coordonnées (x̄ ; ȳ) où :
- x̄ est la moyenne des valeurs xi :
x̄ = (x1 + x2 + ⋯ + xn) / n - ȳ est la moyenne des valeurs yi :
ȳ = (y1 + y2 + ⋯ + yn) / n
⭐ Propriété essentielle :
Le point moyen G(x̄ ; ȳ) appartient toujours à la droite d'ajustement affine.
III. Ajustement affine, Interpolation et Extrapolation
Lorsque le nuage de points a une forme approximativement rectiligne, on peut chercher à modéliser la relation entre X et Y par une droite, appelée droite d'ajustement affine.
1. Équation de la droite d'ajustement
La droite d'ajustement affine a pour équation réduite :
- a est le coefficient directeur (la pente).
- b est l'ordonnée à l'origine.
Cette droite passe par le point moyen G(x̄ ; ȳ), ce qui permet de vérifier l'égalité :
2. Méthodes d'obtention de la droite
- Au jugé : On trace à la règle une droite qui « passe au mieux » au milieu du nuage tout en passant obligatoirement par le point moyen G.
- Par calculatrice / Tableur (Méthode des moindres carrés) : Le logiciel donne automatiquement le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b.
3. Exploitation du modèle : Interpolation et Extrapolation
Définition : Estimation d'une valeur de y pour une valeur de x située à l'intérieur de l'intervalle des données observées.
Fiabilité : ✅ Élevée
Définition : Estimation d'une valeur de y pour une valeur de x située en dehors de l'intervalle des données observées.
Fiabilité : ⚠️ Prudence nécessaire ! La tendance peut ne pas se poursuivre.
Exemple d'exercice d'application
📝 Énoncé
On étudie l'évolution des émissions de CO₂ d'une entreprise (en tonnes) selon le rang de l'année xi (x1 = 1 pour l'année 2020).
| Rang de l'année (xi) | 1 (2020) | 2 (2021) | 3 (2022) | 4 (2023) | 5 (2024) |
|---|---|---|---|---|---|
| Émissions de CO₂ (yi) | 120 | 112 | 105 | 98 | 90 |
- 1. Calculer les coordonnées du point moyen G.
- 2. L'ajustement affine donné par le tableur est : y = −7,4x + 127,2. Vérifier que le point moyen G appartient à cette droite.
- 3. Interpolation : Estimer les émissions de CO₂ au milieu de l'année 2022 (x = 3,5).
- 4. Extrapolation : Selon ce modèle, estimer les émissions de CO₂ pour l'année 2030 (x = 11).
✅ Correction détaillée
1. Calcul des coordonnées du point moyen G(x̄ ; ȳ) :
- x̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 15 / 5 = 3
- ȳ = (120 + 112 + 105 + 98 + 90) / 5 = 525 / 5 = 105
- Donc G(3 ; 105)
2. Vérification de l'appartenance de G à la droite y = −7,4x + 127,2 :
- Pour x = x̄ = 3 : −7,4 × 3 + 127,2 = −22,2 + 127,2 = 105 = ȳ
- L'égalité est vérifiée, le point moyen G appartient bien à la droite d'ajustement.
3. Interpolation pour x = 3,5 :
- y = −7,4 × 3,5 + 127,2 = −25,9 + 127,2 = 101,3
- On estime qu'au milieu de l'année 2022, les émissions étaient de 101,3 tonnes.
4. Extrapolation pour l'année 2030 (x = 11) :
- y = −7,4 × 11 + 127,2 = −81,4 + 127,2 = 45,8
- Si la tendance se poursuit, les émissions prévues en 2030 seront d'environ 45,8 tonnes.