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Les Automatismes
Compétences transversales — Tronc commun (Première générale)
Objectifs
Les automatismes regroupent les compétences de calcul, de lecture graphique et d'interprétation qui doivent être maîtrisées de manière fluide et rapide tout au long de l'année.
I. Évolutions et variations
1. Coefficient multiplicateur et taux d'évolution
Soit une grandeur passant d'une valeur initiale Vi à une valeur finale Vf.
- Taux d'évolution : t = (Vf − Vi) / Vi (exprimé en décimal ou en pourcentage t%)
-
Coefficient multiplicateur (CM) :
CM = Vf / Vi = 1 + t
- Si hausse de p%, CM = 1 + p/100
- Si baisse de p%, CM = 1 − p/100
2. Valeur initiale et valeur finale
- Calcul de Vf : Vf = Vi × CM
- Calcul de Vi : Vi = Vf / CM
3. Évolutions successives et taux réciproque
-
Évolutions successives : Lors de n évolutions successives de coefficients CM1, CM2, ..., CMn, le coefficient multiplicateur global est :
CMglobal = CM1 × CM2 × ⋯ × CMn
-
Taux d'évolution réciproque : Pour revenir de la valeur finale Vf à la valeur initiale Vi, on applique le coefficient multiplicateur réciproque :
CMréciproque = 1 / CM
tréciproque = CMréciproque − 1
II. Calcul numérique et algébrique
1. Développement et factorisation
-
Identités remarquables de base :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b² - Factorisation par facteur commun : a·b + a·c = a(b + c)
2. Équation produit nul
3. Signe d'une expression du 1er degré et du 2e degré factorisé
Expression du 1er degré ax + b (a ≠ 0) :
S'annule en x = −b/a. Elle est du signe de a pour x > −b/a.
| x | −∞ | −b/a | +∞ |
|---|---|---|---|
| ax+b (a > 0) | − | 0 | + |
| ax+b (a < 0) | + | 0 | − |
Expression factorisée du 2e degré a(x − x1)(x − x2) :
On établit un tableau de signes en étudiant le signe de chaque facteur (a, x − x1, x − x2) puis en appliquant la règle des signes.
III. Fonctions et graphiques
1. Résolution graphique d'équations et inéquations
Soit Cf la courbe représentative de la fonction f et k ∈ ℝ.
- Équation f(x) = k : Les solutions sont les abscisses des points d'intersection entre Cf et la droite horizontale y = k.
- Inéquation f(x) < k (ou > k) : Les solutions sont les abscisses des points de Cf situés strictement en dessous (ou en dessus) de la droite y = k.
2. Tableau de variations
Un tableau de variations résume les intervalles où la fonction est croissante (↗) ou décroissante (↘) ainsi que les extrema (maximums et minimums).
3. Équation réduite d'une droite
Toute droite non verticale a une équation réduite de la forme :
- m est le coefficient directeur (pente) : m = (yB − yA) / (xB − xA)
- p est l'ordonnée à l'origine (point d'intersection avec l'axe y).
IV. Statistiques et Probabilités
1. Indicateurs de séries statistiques
- Moyenne (x̄) : x̄ = Σ nixi / N
- Médiane (Me) : Valeur partageant la série ordonnée en deux groupes de même effectif (50% en dessous, 50% au-dessus).
-
Quartiles (Q1, Q3) :
- Q1 : plus petite valeur telle qu'au moins 25% des données lui soient inférieures ou égales.
- Q3 : plus petite valeur telle qu'au moins 75% des données lui soient inférieures ou égales.
- Écart interquartile : IQR = Q3 − Q1
2. Boîte à moustaches (Diagramme en boîte)
Visualise les 5 indicateurs clés : Min, Q1, Me, Q3, Max.
3. Probabilités
-
Tableau croisé : Permet la lecture directe d'intersections et de probabilités conditionnelles :
PA(B) = Effectif de (A ∩ B) / Effectif de A
-
Arbre pondéré :
- Produit des probabilités le long d'un chemin : P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)
- Somme des chemins menant à un même événement (probabilités totales).
V. Exercices d'application (Automatismes)
📝 Exercice 1 (Évolutions)
Un article coûte 80 €. Son prix augmente de 20%, puis diminue de 20%.
- Quel est le prix final ?
- Quel est le taux d'évolution global ?
✅ Correction
- CM1 = 1 + 0,20 = 1,20 et CM2 = 1 − 0,20 = 0,80.
- CMglobal = 1,20 × 0,80 = 0,96.
- Prix final = 80 × 0,96 = 76,80 €.
- tglobal = CMglobal − 1 = 0,96 − 1 = −0,04, soit une baisse de 4%.
📝 Exercice 2 (Algèbre)
Résoudre l'équation : (2x − 6)(x + 5) = 0.
✅ Correction
C'est une équation produit nul :
2x = 6 ⟹ x = 3 ou x = −5
Les solutions sont S = {−5 ; 3}.
📝 Exercice 3 (Droites)
Déterminer l'équation réduite de la droite passant par A(1 ; 3) et B(3 ; 7).
✅ Correction
- Coefficient directeur : m = (7 − 3) / (3 − 1) = 4 / 2 = 2
- L'équation s'écrit y = 2x + p. En injectant les coordonnées de A(1 ; 3) :
3 = 2(1) + p ⟹ p = 1 - L'équation réduite est y = 2x + 1.
Les automatismes sont la clé de la réussite à l'épreuve sans calculatrice. Entraînez-vous régulièrement avec :
- Des questions flash de calcul mental.
- Des exercices de lecture graphique (tableaux de variations, droites, boîtes à moustaches).
- Des problèmes d'évolution (taux, CM, évolutions successives).
La boîte à moustache
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