Suites
Une suite est une succession de nombres :
Elle permet notamment de modéliser une quantité qui évolue étape après étape.
Exemples :
- population chaque année ;
- capital à la fin de chaque année ;
- nombre d'abonnés chaque mois ;
- quantité de matière après plusieurs étapes.
On distingue principalement :
- les suites arithmétiques ;
- les suites géométriques.
Suites arithmétiques
Définition
Une suite est arithmétique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.
Ce nombre est appelé la raison.
On écrit :
où r est la raison.
Exemple
On considère :
et :
Les termes sont :
La raison est :
Formule
Pour une suite arithmétique :
Si la suite commence au rang 1 :
Exemple
Une entreprise compte 500 clients en 2026 et gagne 30 clients par an.
On note u(n) le nombre de clients n années après 2026.
Alors :
et :
Donc :
En 2030 :
Sens de variation
Pour une suite arithmétique :
- si r > 0, la suite est croissante ;
- si r < 0, la suite est décroissante ;
- si r = 0, elle est constante.
Fonction affine
Une fonction affine s'écrit :
Sa représentation graphique est une droite.
- si a > 0, la fonction est croissante ;
- si a < 0, elle est décroissante ;
- si a = 0, elle est constante.
Lien entre suite arithmétique et fonction affine
Une suite arithmétique modélise une évolution discrète :
Une fonction affine modélise une évolution continue :
Dans les deux cas, l'évolution est caractérisée par un accroissement constant.
Problème de seuil
Supposons :
On cherche quand le nombre de clients dépassera 700.
On résout :
Comme n est entier :
Il faudra donc attendre 7 années.
Suites géométriques
Définition
Une suite est géométrique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.
Ce nombre est la raison q.
Exemple
On considère :
et :
Les termes commencent par :
La raison est :
Formule
Pour une suite géométrique :
Lien avec les pourcentages
Une augmentation de 5 % correspond à multiplier par :
Donc une suite géométrique de raison 1,05 modélise une augmentation de 5 % à chaque étape.
Une diminution de 8 % correspond à :
Donc une suite de raison 0,92 modélise une diminution de 8 % à chaque étape.
Exemple : placement
Un capital de 2 000 € augmente de 3 % chaque année.
On note u(n) le capital après n années.
Alors :
et :
Donc :
Après 5 ans :
Croissance et décroissance
Pour une suite géométrique à termes positifs :
- si q > 1, la suite est croissante ;
- si 0 < q < 1, la suite est décroissante ;
- si q = 1, elle est constante.
Croissance linéaire ou exponentielle ?
Croissance linéaire
On ajoute toujours la même quantité.
Exemple : 100, 120, 140, 160, ...
C'est une suite arithmétique.
Croissance exponentielle
On multiplie toujours par le même nombre.
Exemple : 100, 120, 144, 172,8, ...
C'est une suite géométrique de raison 1,2.
Méthode pour reconnaître le modèle
Est-ce que l'on ajoute toujours la même quantité ?
→ modèle arithmétique.
Ou :
Est-ce que l'on multiplie toujours par le même coefficient ?
→ modèle géométrique.
Fonction exponentielle
Une fonction exponentielle permet de modéliser une évolution continue de type exponentiel.
On rencontre notamment des fonctions de la forme :
avec a > 0.
Exemple
Considérons :
Cette fonction modélise une croissance de 5 % par unité de temps.
Pour :
- x = 0 → f(0) = 1
- x = 1 → f(1) = 1,05
- x = 2 → f(2) = 1,05²
Lien avec une suite géométrique
Une suite géométrique :
correspond à une évolution discrète.
La fonction :
permet de prolonger ce modèle aux valeurs réelles de x.
3. Taux d'évolution moyen
Une quantité passe de V₀ à Vn après n évolutions identiques.
Si q est le coefficient multiplicateur moyen par évolution :
Donc :
Le taux d'évolution moyen est :
Exemple
Une population passe de 100 000 à 121 000 habitants en deux ans.
On cherche le coefficient multiplicateur annuel moyen.
Le taux moyen est donc :
soit :
La population a donc augmenté en moyenne de 10 % par an.
Dérivée et variations
La dérivée permet d'étudier la manière dont une grandeur évolue localement. Elle permet notamment de déterminer si une fonction est croissante ou décroissante.
La dérivé de f est a, notée : f'(a)
Elle représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Interprétation dans un contexte
Supposons que f(t) représente la distance parcourue par un véhicule en fonction du temps.
Alors : f'(t) représente la vitesse instantanée.
La dérivée permet donc de donner un sens concret à une variation.
Signe de la dérivée
Le signe de f'(x) permet d'étudier les variations de f.
- Si f'(x) > 0 → f est croissante.
- Si f'(x) < 0 → f est décroissante.
- Si f'(x) = 0 → la fonction peut avoir un extremum ou un point stationnaire.
Exemple
On considère :
Sa dérivée est :
On cherche quand la dérivée est positive :
Donc :
- sur ]−∞ ; 2[, f'(x) < 0 → f est décroissante ;
- sur ]2 ; +∞[, f'(x) > 0 → f est croissante.
La fonction atteint donc un minimum en x = 2.
Polynômes de degré inférieur ou égal à 3
Le programme demande notamment de pouvoir étudier les variations de fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 3 à partir de leur dérivée.
La méthode est toujours la même :
Étape 1 — Calculer ou utiliser la dérivée f'(x).
Étape 2 — Étudier le signe de f'(x).
Étape 3 — En déduire les variations de f.
Étape 4 — Interpréter le résultat dans le contexte.
• Les suites arithmétiques modélisent des évolutions par ajout constant (croissance linéaire).
• Les suites géométriques modélisent des évolutions par multiplication constante (croissance exponentielle).
• La fonction exponentielle prolonge les modèles exponentiels discrets.
• La dérivée permet d'étudier les variations d'une fonction (signe de f').
• La méthode pour étudier un polynôme de degré ≤ 3 : dérivée → signe → variations → interprétation.