Probabilités conditionnelles
Idée fondamentale
Une probabilité conditionnelle correspond à une probabilité calculée sachant qu'une information est connue.
On note :
et on lit : probabilité de A sachant B.
Exemple avec un tableau
Reprenons :
| Sport | Pas de sport | Total | |
|---|---|---|---|
| Réussite | 90 | 30 | 120 |
| Échec | 40 | 40 | 80 |
| Total | 130 | 70 | 200 |
On cherche :
On se limite aux 130 sportifs.
Parmi eux, 90 réussissent.
Donc :
Formule
Si P(B) ≠ 0 :
Cette formule est fondamentale.
Arbres de probabilités
Un arbre permet de représenter plusieurs étapes successives.
Supposons :
- P(A) = 0,6 ;
- P(B | A) = 0,8.
———non A (0,4)
Puis on poursuit chaque branche.
Règle du produit
Sur une branche, on multiplie les probabilités.
Par exemple :
Alors :
Indépendance
Deux événements A et B sont indépendants lorsque le fait de savoir que B est réalisé ne change pas la probabilité de A.
On peut écrire :
lorsque P(B) ≠ 0.
Une autre caractérisation importante est :
Ne pas confondre indépendance et incompatibilité
Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire simultanément.
Alors :
Deux événements indépendants peuvent au contraire se produire simultanément.
L'indépendance signifie que la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.
P(A) = 1 − P(A)
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B)
Si A et B sont indépendants :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
• Probabilité conditionnelle : P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).
• Indépendance : P(A | B) = P(A) ⇔ P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
• Ne pas confondre incompatibilité (P(A ∩ B) = 0) et indépendance.
• Dans un test médical, P(T | M) ≠ P(M | T) en général.
Exemple d'application : test médical
Supposons qu'un test médical soit appliqué à une population.
Dans cette population, certaines personnes sont malades et d'autres ne le sont pas.
On note :
- M : l'événement « la personne est malade »
- T : l'événement « le test est positif ».
L'arbre de probabilités commence par séparer la population en deux groupes : les personnes malades (M) et les personnes non malades (M). À partir de chacun de ces deux groupes, on distingue ensuite les personnes dont le test est positif (T) et celles dont le test est négatif (T).
La probabilité P(T | M) correspond à la probabilité que le test soit positif parmi les personnes malades. Elle se lit sur la branche qui part de M vers T. À l'inverse, P(M | T) correspond à la probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif. Elle répond à une question différente : parmi toutes les personnes ayant un test positif, quelle proportion est réellement malade ?
L'arbre permet justement de passer de l'une à l'autre en combinant les probabilités des différentes branches.
Prenons un exemple numérique pour mieux comprendre le raisonnement.
Supposons que 2 % de la population soit malade.
Le test est positif chez 95 % des personnes malades.
En revanche, parmi les personnes qui ne sont pas malades, 5 % obtiennent malgré tout un test positif : ce sont les faux positifs.
On cherche maintenant à répondre à une question différente : parmi toutes les personnes dont le test est positif, combien sont réellement malades ?
Calcul de P(M ∩ T)
Commençons par calculer la proportion de personnes qui sont malades et ont un test positif :
Ainsi, 1,9 % de la population est à la fois malade et testée positive.
Calcul de P(M ∩ T)
Mais toutes les personnes ayant un test positif ne sont pas malades. Il faut également prendre en compte les personnes non malades mais testées positives :
Or :
donc :
Ainsi, 4,9 % de la population est non malade mais obtient un test positif.
Calcul de P(T)
La proportion totale de personnes ayant un test positif est donc :
soit 6,8 % de la population.
Calcul de P(M | T)
Parmi ces personnes testées positives, la proportion qui est réellement malade est :
soit environ :
Conclusion
Parmi toutes les personnes ayant obtenu un test positif, environ 27,9 % sont réellement malades.
Autrement dit, dans cet exemple, un peu moins de 3 personnes sur 10 ayant un test positif sont réellement malades. Les autres sont des personnes non malades ayant obtenu un faux positif.
Ce qu'il faut retenir
et
Le premier chiffre indique l'efficacité du test chez les personnes malades ; le second indique la probabilité d'être réellement malade lorsqu'on a un test positif.
• P(T | M) = probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade (efficacité du test).
• P(M | T) = probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif (valeur prédictive positive).
• Ces deux probabilités sont très différentes et ne doivent pas être confondues.
• Les faux positifs peuvent être nombreux si la maladie est rare.
• L'arbre de probabilités permet de passer de l'une à l'autre.
Exemple d'exercice avec corrigé
Un joueur de basket tire trois fois
Un joueur de basket effectue trois tirs successifs.
- Lors du premier tir, la probabilité qu'il réussisse est de 0,6.
- Lors des deuxième et troisième tirs, la probabilité de réussite est de 0,8, quel que soit le résultat du tir précédent.
On considère que les résultats des tirs 2 et 3 ne dépendent pas des résultats précédents.
On note :
- A : « le joueur réussit son premier tir » ;
- B : « le joueur réussit son deuxième tir » ;
- C : « le joueur réussit son troisième tir ».
Ainsi :
et :
De même :
Questions
- Construire l'arbre de probabilités correspondant aux trois tirs.
- Calculer la probabilité que le joueur réussisse ses trois tirs.
- Calculer la probabilité qu'il réussisse les deux premiers tirs mais rate le troisième.
- Calculer la probabilité qu'il rate le premier tir, réussisse le deuxième et réussisse le troisième.
- Calculer la probabilité qu'il réussisse le troisième tir.
- Calculer la probabilité qu'il réussisse exactement deux tirs sur les trois.
CORRIGÉ DÉTAILLÉ
1. Construire l'arbre
Au premier tir :
Au deuxième tir, quelle que soit l'issue du premier :
Au troisième tir :
─── non C (0,2)
─── non B (0,2) ─── C (0,8)
─── non C (0,2)
─── non A (0,4) ─── B (0,8) ─── C (0,8)
─── non C (0,2)
─── non B (0,2) ─── C (0,8)
─── non C (0,2)
L'arbre comporte donc :
Probabilité de réussir les trois tirs
On cherche :
On suit le chemin :
Sur un même chemin, on multiplie les probabilités :
3. Réussir les deux premiers tirs et rater le troisième
On cherche :
Le chemin correspondant est :
4. Rater le premier tir, réussir le deuxième et réussir le troisième
On cherche :
Le chemin est :
5. Probabilité de réussir le troisième tir
L'événement C peut être atteint par quatre chemins différents :
- A → B → C
- A → B → C
- A → B → C
- A → B → C
Il faut donc calculer chacune des quatre probabilités puis les additionner.
Chemin 1 : A → B → C → 0,6 × 0,8 × 0,8 = 0,384
Chemin 2 : A → B → C → 0,6 × 0,2 × 0,8 = 0,096
Chemin 3 : A → B → C → 0,4 × 0,8 × 0,8 = 0,256
Chemin 4 : A → B → C → 0,4 × 0,2 × 0,8 = 0,064
On additionne :
6. Probabilité de réussir exactement deux tirs
Il existe trois situations permettant de réussir exactement deux tirs :
Cas 1 : Réussir les tirs 1 et 2, rater le 3
A → B → C → 0,6 × 0,8 × 0,2 = 0,096
Cas 2 : Réussir les tirs 1 et 3, rater le 2
A → B → C → 0,6 × 0,2 × 0,8 = 0,096
Cas 3 : Rater le 1, réussir les tirs 2 et 3
A → B → C → 0,4 × 0,8 × 0,8 = 0,256
On additionne les trois possibilités :
La règle à mémoriser
ON MULTIPLIE
ON ADDITIONNE
C'est la règle fondamentale pour exploiter un arbre de probabilités.
Vérification
Les huit chemins doivent représenter toutes les situations possibles. Leur somme doit donc être égale à 1 :
+ 0,256 + 0,064 + 0,064 + 0,016
= 1
La construction de l'arbre est donc cohérente.
• Dans un arbre de probabilités, on multiplie les probabilités sur un chemin.
• Pour un événement qui peut être atteint par plusieurs chemins, on additionne les probabilités.
• La somme des probabilités de tous les chemins doit être égale à 1.
• Toujours vérifier la cohérence de l'arbre construit.