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Croissance linéaire vs Croissance exponentielle
En mathématiques, modéliser une situation consiste à choisir une formule ou une loi qui décrit comment une grandeur évolue au cours du temps (par étapes successives n = 0, 1, 2, 3…).
1. La croissance linéaire (Modèle additif)
A. Principe
- La grandeur augmente (ou diminue) d'une quantité FIXE à chaque étape.
- Opération clé : On ADDITIONNE (ou retranche) toujours le même nombre.
- Outil mathématique :
- Suite arithmétique : un+1 = un + r (où r est la raison).
- Fonction affine : f(x) = a·x + b.
B. Formules à connaître
Formule affine : y = a·x + b (où a est la pente/taux de variation et b la valeur initiale).
C. Représentation graphique
- Sur un graphique, les points sont alignés sur une droite.
- Si la quantité fixe est positive (r > 0 ou a > 0), la droite monte.
- Si elle est négative (r < 0 ou a < 0), la droite descend.
Exemple concret : Un abonnement de téléphone coûte 15 € par mois, plus 2 € par Go consommé.
u0 = 15
un = 15 + 2n (évolution linéaire).
2. La croissance exponentielle (Modèle multiplicatif)
A. Principe
- La grandeur augmente (ou diminue) d'une proportion FIXE (un pourcentage fixe) à chaque étape.
- Opération clé : On MULTIPLIE toujours par le même nombre (le Coefficient Multiplicateur q).
- Outil mathématique :
- Suite géométrique : un+1 = un × q (où q est la raison).
B. Formule à connaître
Rappel sur la raison q :
- Si la grandeur augmente de t% à chaque étape : q = 1 + t/100 (alors q > 1).
- Si la grandeur diminue de t% à chaque étape : q = 1 - t/100 (alors 0 < q < 1).
C. Représentation graphique
- Sur un graphique, la courbe n'est pas une droite :
- En cas de hausse (q > 1), la courbe décolle et monte de plus en plus vite (effet « boule de neige »).
- En cas de baisse (0 < q < 1), la courbe chute vite puis se rapproche de zéro sans jamais l'atteindre complètement.
Exemple concret : Un placement bancaire de 1 000 € rapporte 3% d'intérêts composés par an.
q = 1 + 3/100 = 1,03
un = 1000 × 1,03n (évolution exponentielle).
3. Tableau comparatif : Comment choisir le bon modèle ?
| Critère | Croissance Linéaire | Croissance Exponentielle |
|---|---|---|
| Énoncé type | « Augmente de 50 unités par an » | « Augmente de 5% par an » / « Est multiplié par 2 » |
| Opération entre deux étapes | + r (Addition) | × q (Multiplication) |
| Nature de la suite | Arithmétique | Géométrique |
| Formule du terme un | un = u0 + n × r | un = u0 × qn |
| Aspect du graphique | Droite | Courbe qui s'accélère / s'écrase |
4. Les réflexes pour l'épreuve du bac
Identifier le modèle dans un tableau de données :
-
Calculer la différence entre chaque terme (u₁ - u₀, u₂ - u₁).
Si la différence est constante → Linéaire. -
Calculer le quotient entre chaque terme (u₁/u₀, u₂/u₁).
Si le quotient est constant → Exponentiel.
Reconnaître le comportement à long terme :
- À long terme, une croissance exponentielle (avec q > 1) finit toujours par dépasser une croissance linéaire, même si la ligne droite démarre plus fort.
Le réflexe à avoir face à un énoncé : « par an » ≠ « unités par an » vs « pourcentage par an ». Dès que vous lisez un pourcentage ou un taux (« augmente de 5% », « multiplié par 1,05 »), pensez immédiatement à la croissance exponentielle et à la formule un = u0 × qn.