Probabilités simples & Arbres de choix

🎲 Probabilités simples & Arbres de choix

Les probabilités permettent de mesurer le hasard ou l'incertitude d'une situation (appelée expérience aléatoire). La valeur d'une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain).

1. Vocabulaire et Notations fondamentales

Soit deux événements A et B dans une expérience aléatoire :

• Événement contraire (Ā) : L'événement qui se réalise quand A ne se réalise pas.
  Règle d'or : P(Ā) = 1 − P(A)
• Intersection (A ∩ B, se lit « A et B ») : L'événement réalisé si A ET B se réalisent en même temps.
• Réunion (A ∪ B, se lit « A ou B ») : L'événement réalisé si A OU B (ou les deux) se réalise.
  P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• Événements incompatibles : Deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps (A ∩ B est impossible, donc P(A ∩ B) = 0).
  Dans ce cas : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

2. Construire et compléter un Arbre de choix (ou Arbre pondéré)

Un arbre pondéré permet de visualiser une succession d'épreuves aléatoires ou d'étapes de décision.

Règle 1 : La somme des branches issues d'un même nœud vaut 1

À chaque nœud, la somme des probabilités de toutes les branches qui en partent est toujours égale à 1.

Règle 2 : Le long d'un chemin, on MULTIPLIE les probabilités

Pour calculer la probabilité d'une succession d'événements (trouver la probabilité du bout du chemin), on multiplie les probabilités rencontrées le long des branches.

Règle 3 : Entre plusieurs chemins favorables, on ADDITIONNE les probabilités

Si plusieurs chemins différents mènent au résultat recherché, on calcule la probabilité de chaque chemin puis on les additionne.

3. Exemple classique d'application

Construction de l'arbre :

Calculs types au bac :

• Probabilité qu'une ampoule provienne de l'Usine 1 ET soit défectueuse :
  P(U₁ ∩ D) = 0,8 × 0,02 = 0,016 (soit 1,6 %)
• Probabilité globale qu'une ampoule soit défectueuse P(D) :
  On applique la formule des probabilités totales (addition des chemins 1 et 2) :
  P(D) = (0,8 × 0,02) + (0,2 × 0,05) = 0,016 + 0,01 = 0,026 (soit 2,6 %)

4. Tableau récapitulatif des opérations

5. Les réflexes clés pour le jour J

• Convertir les pourcentages en décimaux : 25 % = 0,25 ; 5 % = 0,05 (attention à ne pas écrire 0,5 !)
• Vérifier ses branches : À chaque nœud, refaire mentalement l'addition pour vérifier que le total fait bien 1.
• Attention aux mots-clés :
  • « ET » → Intersection → On multiplie le long du chemin.
  • « OU » → Réunion → On additionne les différents chemins.
  • « Au moins un » → Penser au passage par l'événement contraire :
    P(Au moins un) = 1 − P(Aucun)