Thème : Son et musique, porteurs d'information
Depuis l'Antiquité, les scientifiques cherchent à comprendre pourquoi certaines combinaisons de sons sont perçues comme harmonieuses. La musique repose en effet sur des relations mathématiques entre les fréquences, les notes et les intervalles. Cette page du programme d'enseignement scientifique explique comment les nombres permettent de décrire les sons musicaux et comment la physique aide à comprendre l'organisation des gammes et de l'harmonie.
Pourquoi la musique est-elle liée aux mathématiques ?
La musique est souvent considérée comme un art fondé sur la sensibilité et l'émotion. Pourtant, derrière chaque mélodie se cachent aussi des phénomènes physiques que l'on peut mesurer et décrire grâce aux mathématiques. Les sons produits par les instruments ou la voix correspondent à des vibrations qui peuvent être caractérisées par leur fréquence.
Chaque note de musique correspond ainsi à une fréquence précise, exprimée en hertz (Hz). Par exemple, le « la » utilisé pour accorder les instruments possède généralement une fréquence de 440 Hz. Plus la fréquence est élevée, plus le son est perçu comme aigu ; plus elle est faible, plus le son paraît grave.
Les relations entre les notes reposent également sur des rapports de fréquences. Les intervalles musicaux, comme l'octave ou la quinte, correspondent à des proportions mathématiques entre les fréquences des sons. Par exemple, deux notes séparées d'une octave ont des fréquences dans un rapport de 2.
Ainsi, l'harmonie musicale peut être étudiée comme un ensemble de relations numériques entre les sons. Depuis les travaux de Pythagore jusqu'aux technologies modernes de création musicale, les mathématiques permettent de mieux comprendre pourquoi certaines associations de notes sont perçues comme agréables et comment la musique est construite.
• Le son est une vibration caractérisée par sa fréquence (en Hz).
• La fréquence fondamentale détermine la hauteur de la note (grave/aigu).
• Les intervalles musicaux (octave, quinte, etc.) correspondent à des rapports de fréquences simples.
• Octave : rapport de fréquence 2 (f₂ = 2 × f₁).
• Quinte : rapport de fréquence 3/2 (f₂ = 1,5 × f₁).
• La gamme tempérée est une construction mathématique qui divise l'octave en 12 demi-tons égaux (r = 21/12).
Les gammes musicales : Pythagoricienne et tempérée
1. La gamme pythagoricienne
Depuis l'Antiquité, la construction des gammes repose sur des intervalles musicaux définis par de simples rapports de fréquences :
- L'octave (rapport 2:1) : Deux notes à l'octave ont des fréquences dans un rapport de 2 (f₂/f₁ = 2). Elles sont perçues comme ayant la même hauteur relative.
- La quinte (rapport 3:2) : Deux notes séparées d'une quinte ont leurs fréquences dans un rapport de 1,5 (f₂/f₁ = 3/2).
- La construction pythagoricienne : La gamme de Pythagore est construite en enchaînant des quintes (multiplications successives par 3/2) et en ramenant les fréquences dans l'octave de référence (divisions par 2).
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Inconvénient : L'enchaînement de 12 quintes ne retombe pas exactement sur 7 octaves :
(3/2)12 ≈ 129,74 ≠ 27 = 128
Cet écart s'appelle le coma pythagoricien, rendant la transposition difficile entre différentes tonalités.
2. La gamme tempérée (tempérament égal)
Pour corriger le problème du coma pythagoricien, la gamme tempérée divise l'octave en 12 demi-tons égaux.
Le rapport des fréquences entre deux demi-tons consécutifs est constant et vaut :
Chaque note a ainsi une fréquence obtenue en multipliant la précédente par r.
• La gamme pythagoricienne repose sur des rapports simples (2:1 pour l'octave, 3:2 pour la quinte).
• Le coma pythagoricien est l'écart entre 12 quintes et 7 octaves : ≈ 129,74 ≠ 128.
• La gamme tempérée divise l'octave en 12 demi-tons égaux (raison constante r = 21/12).
• La gamme tempérée permet de transposer une musique dans n'importe quelle tonalité sans changer les intervalles.
Pourquoi certains sons sont-ils perçus comme harmonieux ?
Tous les sons ne produisent pas la même sensation à l'oreille. Certains assemblages de notes sont perçus comme agréables et équilibrés : on parle alors de consonance. D'autres combinaisons peuvent sembler plus instables ou créer une tension sonore : ce sont les dissonances.
Cette différence s'explique en partie par les relations entre les fréquences des sons. Lorsque deux notes possèdent des fréquences liées par des rapports simples, comme l'octave (rapport 2 entre les fréquences) ou la quinte (rapport 3/2), leurs vibrations s'accordent facilement et sont souvent ressenties comme harmonieuses.
À l'inverse, lorsque les fréquences de deux sons sont moins bien coordonnées ou très proches sans être liées par un rapport simple, les vibrations peuvent créer des battements sonores perçus comme une tension. Ces effets participent à la sensation de dissonance.
La perception de l'harmonie dépend donc à la fois des propriétés physiques des sons (fréquences, vibrations, rapports numériques) et de facteurs culturels et musicaux, car chaque époque et chaque civilisation ont développé leurs propres façons d'organiser les sons.
• La consonance est perçue quand les fréquences sont liées par des rapports simples : octave (2/1), quinte (3/2), quarte (4/3).
• La dissonance apparaît quand les rapports de fréquences sont complexes ou trop proches.
• Les battements sont des variations d'amplitude sonore qui se produisent quand deux fréquences sont très proches.
• L'harmonie est une perception qui associe physique (acoustique) et culture (traditions musicales).
• La gamme tempérée est un compromis qui permet de jouer dans toutes les tonalités tout en préservant une certaine harmonie.
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