La musique ou l'art d'entendre des nombres

🎼 Les gammes musicales : Pythagoricienne et tempérée

1. La gamme pythagoricienne

Depuis l'Antiquité, la construction des gammes repose sur des intervalles musicaux définis par de simples rapports de fréquences :

• L'octave (rapport 2:1) : Deux notes à l'octave ont des fréquences dans un rapport de 2 (f₂/f₁ = 2). Elles sont perçues comme ayant la même hauteur relative.
• La quinte (rapport 3:2) : Deux notes séparées d'une quinte ont leurs fréquences dans un rapport de 1,5 (f₂/f₁ = 3/2).

• La construction pythagoricienne : La gamme de Pythagore est construite en enchaînant des quintes (multiplications successives par 3/2) et en ramenant les fréquences dans l'octave de référence (divisions par 2).
• Inconvénient : L'enchaînement de 12 quintes ne retombe pas exactement sur 7 octaves :
  (3/2)¹² ≈ 129,74 ≠ 2⁷ = 128

  Cet écart s'appelle le coma pythagoricien, rendant la transposition difficile entre différentes tonalités.

2. La gamme tempérée (tempérament égal)

Pour corriger le problème du coma pythagoricien, la gamme tempérée divise l'octave en 12 demi-tons égaux.

Le rapport des fréquences entre deux demi-tons consécutifs est constant et vaut :