en cours
Une longue histoire de la matière
1. De l'état amorphe à l'état cristallin
Un solide peut s'organiser de deux manières selon les conditions de refroidissement de son liquide d'origine :
- Un état cristallin (ou cristal) : Organisation spatiale régulière et périodique des atomes, ions ou molécules à l'échelle microscopique.
- Un état amorphe : Absence d'organisation ordonnée à longue portée (ex: le verre).
2. La structure cristalline
La répétition dans l'espace d'un motif géométrique élémentaire appelé maille forme le réseau cristallin.
Parmi les mailles classiques :
- La maille cubique simple : Un atome à chaque sommet du cube.
- La maille cubique à faces centrées (CFC) : Un atome à chaque sommet + un atome au centre de chaque face.
NCFC = 8 × (1/8) + 6 × (1/2) = 4 atomes par maille
- La compacité (C) : Proportion du volume de la maille occupée par les atomes.
- La masse volumique (ρ) : Rapport de la masse des atomes de la maille par le volume de la maille.
ρ = mmaille / Vmaille
Les roches (ex: le granite avec le quartz, les feldspaths et le mica) ou les squelettes/coquilles d'êtres vivants (ex: calcite ou hydroxyapatite) sont composés de cristaux.
Astuce :
• La maille cubique à faces centrées (CFC) est la structure la plus fréquente dans les exercices. Retenez le calcul : 4 atomes par maille.
• La masse volumique se calcule avec ρ = m/V. Pensez à convertir les unités (g/cm³, kg/m³).
• Un solide cristallin présente des propriétés différentes d'un solide amorphe (transparence, dureté, point de fusion).
• La maille cubique à faces centrées (CFC) est la structure la plus fréquente dans les exercices. Retenez le calcul : 4 atomes par maille.
• La masse volumique se calcule avec ρ = m/V. Pensez à convertir les unités (g/cm³, kg/m³).
• Un solide cristallin présente des propriétés différentes d'un solide amorphe (transparence, dureté, point de fusion).
Exercice : La maille du cuivre
Énoncé
Le cuivre (Cu) cristallise dans un réseau cubique à faces centrées (CFC).
Données :
- Rayon atomique du cuivre : R = 0,128 nm = 0,128 × 10−9 m
- Masse d'un atome de cuivre : matome = 1,05 × 10−25 kg
- Arête de la maille (paramètre de maille) : a = 0,362 nm = 0,362 × 10−9 m
- Formule du volume d'une sphère : Vsphère = (4/3)πR3
- Formule du volume d'un cube : Vcube = a3
- Dénombrez le nombre d'atomes de cuivre appartenant en propre à une maille.
- Calculez la masse volumique ρ du cuivre en kg/m3.
- Calculez la compacité C de la maille et interprétez le résultat.
Corrigé détaillé
1. Dénombrement des atomes par maille (N)
Dans un réseau CFC, les atomes sont situés :
- Aux 8 sommets du cube : chaque atome au sommet est partagé par 8 mailles voisines (compte pour 1/8).
- Au centre des 6 faces : chaque atome au centre d'une face est partagé par 2 mailles voisines (compte pour 1/2).
N = 8 × (1/8) + 6 × (1/2) = 1 + 3 = 4 atomes par maille
2. Calcul de la masse volumique ρ
La masse volumique est le rapport entre la masse totale des atomes contenus dans la maille et le volume de la maille :
ρ = mmaille / Vmaille = (N × matome) / a3
Application numérique :
mmaille = 4 × 1,05 × 10−25 kg = 4,20 × 10−25 kg
Vmaille = (0,362 × 10−9 m)3 = 4,74 × 10−29 m3
Vmaille = (0,362 × 10−9 m)3 = 4,74 × 10−29 m3
ρ = (4,20 × 10−25) / (4,74 × 10−29) ≈ 8 860 kg/m3
Résultat : La masse volumique du cuivre est d'environ 8 860 kg/m3 (soit 8,86 g/cm3).
3. Calcul de la compacité C
La compacité représente la proportion du volume de la maille réellement occupée par les atomes (assimilés à des sphères dures) :
C = Voccupé / Vmaille = (N × Vatome) / a3 = (N × (4/3)πR3) / a3
Application numérique :
Volume occupé par 1 atome :
Vatome = (4/3) × π × (0,128 × 10−9)3 ≈ 8,78 × 10−30 m3
Volume occupé par les 4 atomes :
Voccupé = 4 × 8,78 × 10−30 = 3,51 × 10−29 m3
Vatome = (4/3) × π × (0,128 × 10−9)3 ≈ 8,78 × 10−30 m3
Volume occupé par les 4 atomes :
Voccupé = 4 × 8,78 × 10−30 = 3,51 × 10−29 m3
C = (3,51 × 10−29) / (4,74 × 10−29) ≈ 0,74 (soit 74%)
Interprétation :
74% du volume de la maille est occupé par les atomes de cuivre. Les 26% restants correspondent à du vide entre les atomes.
0,74 est la compacité maximale possible pour des empilements de sphères identiques (structure CFC).
74% du volume de la maille est occupé par les atomes de cuivre. Les 26% restants correspondent à du vide entre les atomes.
0,74 est la compacité maximale possible pour des empilements de sphères identiques (structure CFC).
Astuce
• La maille CFC contient 4 atomes par maille — à retenir absolument !
• La masse volumique se calcule avec ρ = (N × matome) / a3. Pensez à vérifier les unités.
• La compacité d'une structure CFC est toujours de 0,74 (74%) — c'est la valeur maximale théorique.
• Les erreurs fréquentes : oublier de convertir les nm en m, ou compter incorrectement le nombre d'atomes par maille.
• La maille CFC contient 4 atomes par maille — à retenir absolument !
• La masse volumique se calcule avec ρ = (N × matome) / a3. Pensez à vérifier les unités.
• La compacité d'une structure CFC est toujours de 0,74 (74%) — c'est la valeur maximale théorique.
• Les erreurs fréquentes : oublier de convertir les nm en m, ou compter incorrectement le nombre d'atomes par maille.
Exercice : Le fer alpha
Énoncé
Le fer alpha (Fe) cristallise dans une structure cubique centrée (CC).
Données :
- Arête de la maille : a = 0,287 nm = 0,287 × 10−9 m
- Rayon atomique du fer : R = 0,124 nm = 0,124 × 10−9 m
- Masse d'un atome de fer : matome = 9,27 × 10−26 kg
- Rappelez la position des atomes dans un réseau cubique centré et déterminez le nombre d'atomes N par maille.
- Calculez la masse volumique ρ du fer alpha.
- Comparez la compacité du fer cubique centré (CCC ≈ 0,68) avec celle d'une maille cubique simple (CCS ≈ 0,52). Quel mode d'empilement est le plus compact ?
Corrigé détaillé
1. Dénombrement des atomes par maille (N)
Dans un réseau cubique centré (CC), les atomes sont situés :
- Aux 8 sommets du cube (compte pour 1/8 chacun).
- Au centre du cube (appartient intégralement à la maille, compte pour 1).
N = 8 × (1/8) + 1 = 1 + 1 = 2 atomes par maille
2. Calcul de la masse volumique ρ
ρ = (N × matome) / a3
Application numérique :
Masse de la maille : mmaille = 2 × 9,27 × 10−26 kg = 1,854 × 10−25 kg
Volume de la maille : Vmaille = (0,287 × 10−9 m)3 ≈ 2,364 × 10−29 m3
Volume de la maille : Vmaille = (0,287 × 10−9 m)3 ≈ 2,364 × 10−29 m3
ρ = (1,854 × 10−25) / (2,364 × 10−29) ≈ 7 843 kg/m3
Résultat : La masse volumique du fer alpha est d'environ 7 843 kg/m3 (soit environ 7,84 g/cm3).
3. Comparaison des compacités
| Structure | Compacité | % d'espace occupé | % de vide |
|---|---|---|---|
| Cubique Simple (CS) | 0,52 | 52% | 48% |
| Cubique Centré (CC) | 0,68 | 68% | 32% |
| Cubique Faces Centrées (CFC) | 0,74 | 74% | 26% |
Conclusion :
• Le réseau cubique centré (CC) est plus compact que le réseau cubique simple (CS) (68% contre 52% d'espace occupé).
• Il reste cependant moins compact que le réseau cubique à faces centrées (CFC) qui atteint 74% d'espace occupé — la compacité maximale pour des sphères identiques.
• Le réseau cubique centré (CC) est plus compact que le réseau cubique simple (CS) (68% contre 52% d'espace occupé).
• Il reste cependant moins compact que le réseau cubique à faces centrées (CFC) qui atteint 74% d'espace occupé — la compacité maximale pour des sphères identiques.
Astuce :
• Le cubique centré (CC) contient 2 atomes par maille — à retenir.
• Le cubique simple (CS) contient 1 atome par maille.
• Le cubique faces centrées (CFC) contient 4 atomes par maille.
Ordre de compacité croissante : CS < CC < CFC
(52% < 68% < 74%)
• Le cubique centré (CC) contient 2 atomes par maille — à retenir.
• Le cubique simple (CS) contient 1 atome par maille.
• Le cubique faces centrées (CFC) contient 4 atomes par maille.
Ordre de compacité croissante : CS < CC < CFC
(52% < 68% < 74%)