Les cristaux sont des solides dont les atomes, ions ou molécules sont organisés de manière régulière et ordonnée. Cette page du programme d'enseignement scientifique explique comment se forme une structure cristalline, quelles sont les propriétés des cristaux et en quoi ils se distinguent des solides amorphes. Une fiche claire et illustrée pour comprendre un thème essentiel du programme de Première.
Une longue histoire de la matière
1. De l'état amorphe à l'état cristallin
Un solide peut s'organiser de deux manières selon les conditions de refroidissement de son liquide d'origine :
- Un état cristallin (ou cristal) : Organisation spatiale régulière et périodique des atomes, ions ou molécules à l'échelle microscopique.
- Un état amorphe : Absence d'organisation ordonnée à longue portée (ex: le verre).
2. La structure cristalline
La répétition dans l'espace d'un motif géométrique élémentaire appelé maille forme le réseau cristallin.
Parmi les mailles classiques :
- La maille cubique simple : Un atome à chaque sommet du cube.
- La maille cubique à faces centrées (CFC) : Un atome à chaque sommet + un atome au centre de chaque face.
- La compacité (C) : Proportion du volume de la maille occupée par les atomes.
- La masse volumique (ρ) : Rapport de la masse des atomes de la maille par le volume de la maille.
Les roches (ex: le granite avec le quartz, les feldspaths et le mica) ou les squelettes/coquilles d'êtres vivants (ex: calcite ou hydroxyapatite) sont composés de cristaux.
• La maille cubique à faces centrées (CFC) est la structure la plus fréquente dans les exercices. Retenez le calcul : 4 atomes par maille.
• La masse volumique se calcule avec ρ = m/V. Pensez à convertir les unités (g/cm³, kg/m³).
• Un solide cristallin présente des propriétés différentes d'un solide amorphe (transparence, dureté, point de fusion).
Exercice : La maille du cuivre
Énoncé
Le cuivre (Cu) cristallise dans un réseau cubique à faces centrées (CFC).
Données :
- Rayon atomique du cuivre : R = 0,128 nm = 0,128 × 10−9 m
- Masse d'un atome de cuivre : matome = 1,05 × 10−25 kg
- Arête de la maille (paramètre de maille) : a = 0,362 nm = 0,362 × 10−9 m
- Formule du volume d'une sphère : Vsphère = (4/3)πR3
- Formule du volume d'un cube : Vcube = a3
- Dénombrez le nombre d'atomes de cuivre appartenant en propre à une maille.
- Calculez la masse volumique ρ du cuivre en kg/m3.
- Calculez la compacité C de la maille et interprétez le résultat.
Corrigé détaillé
1. Dénombrement des atomes par maille (N)
Dans un réseau CFC, les atomes sont situés :
- Aux 8 sommets du cube : chaque atome au sommet est partagé par 8 mailles voisines (compte pour 1/8).
- Au centre des 6 faces : chaque atome au centre d'une face est partagé par 2 mailles voisines (compte pour 1/2).
2. Calcul de la masse volumique ρ
La masse volumique est le rapport entre la masse totale des atomes contenus dans la maille et le volume de la maille :
Application numérique :
Vmaille = (0,362 × 10−9 m)3 = 4,74 × 10−29 m3
3. Calcul de la compacité C
La compacité représente la proportion du volume de la maille réellement occupée par les atomes (assimilés à des sphères dures) :
Application numérique :
Vatome = (4/3) × π × (0,128 × 10−9)3 ≈ 8,78 × 10−30 m3
Volume occupé par les 4 atomes :
Voccupé = 4 × 8,78 × 10−30 = 3,51 × 10−29 m3
74% du volume de la maille est occupé par les atomes de cuivre. Les 26% restants correspondent à du vide entre les atomes.
0,74 est la compacité maximale possible pour des empilements de sphères identiques (structure CFC).
• La maille CFC contient 4 atomes par maille — à retenir absolument !
• La masse volumique se calcule avec ρ = (N × matome) / a3. Pensez à vérifier les unités.
• La compacité d'une structure CFC est toujours de 0,74 (74%) — c'est la valeur maximale théorique.
• Les erreurs fréquentes : oublier de convertir les nm en m, ou compter incorrectement le nombre d'atomes par maille.
Exercice : Le fer alpha
Énoncé
Le fer alpha (Fe) cristallise dans une structure cubique centrée (CC).
Données :
- Arête de la maille : a = 0,287 nm = 0,287 × 10−9 m
- Rayon atomique du fer : R = 0,124 nm = 0,124 × 10−9 m
- Masse d'un atome de fer : matome = 9,27 × 10−26 kg
- Rappelez la position des atomes dans un réseau cubique centré et déterminez le nombre d'atomes N par maille.
- Calculez la masse volumique ρ du fer alpha.
- Comparez la compacité du fer cubique centré (CCC ≈ 0,68) avec celle d'une maille cubique simple (CCS ≈ 0,52). Quel mode d'empilement est le plus compact ?
Corrigé détaillé
1. Dénombrement des atomes par maille (N)
Dans un réseau cubique centré (CC), les atomes sont situés :
- Aux 8 sommets du cube (compte pour 1/8 chacun).
- Au centre du cube (appartient intégralement à la maille, compte pour 1).
2. Calcul de la masse volumique ρ
Application numérique :
Volume de la maille : Vmaille = (0,287 × 10−9 m)3 ≈ 2,364 × 10−29 m3
3. Comparaison des compacités
| Structure | Compacité | % d'espace occupé | % de vide |
|---|---|---|---|
| Cubique Simple (CS) | 0,52 | 52% | 48% |
| Cubique Centré (CC) | 0,68 | 68% | 32% |
| Cubique Faces Centrées (CFC) | 0,74 | 74% | 26% |
• Le réseau cubique centré (CC) est plus compact que le réseau cubique simple (CS) (68% contre 52% d'espace occupé).
• Il reste cependant moins compact que le réseau cubique à faces centrées (CFC) qui atteint 74% d'espace occupé — la compacité maximale pour des sphères identiques.
• Le cubique centré (CC) contient 2 atomes par maille — à retenir.
• Le cubique simple (CS) contient 1 atome par maille.
• Le cubique faces centrées (CFC) contient 4 atomes par maille.
Ordre de compacité croissante : CS < CC < CFC
(52% < 68% < 74%)
Qu'est-ce qu'un cristal ?
Un cristal est un solide dont les atomes, ions ou molécules sont organisés de manière régulière selon une structure qui se répète dans l'espace.