en cours
Une longue histoire de la matière
Les noyaux instables et la datation radioactive
Les noyaux instables dits radioactifs se désintègrent spontanément en d'autres noyaux au cours du temps en émettant des rayonnements.
- La demi-vie : c'est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon s'est désintégrée.
- Datation : la loi de décroissance radioactive permet de dater des objets ou structures géologiques (ex: datation au carbone 14 pour la matière organique récente, datation uranium-plomb pour les roches très anciennes).
• La demi-vie (notée t1/2) est une caractéristique propre à chaque isotope radioactif.
• La datation repose sur la mesure du rapport entre la quantité d'isotope parent restant et la quantité d'isotope fils formé.
• Le Carbone 14 (t1/2 = 5 730 ans) est utilisé pour dater les matières organiques jusqu'à environ 50 000 ans.
• L'Uranium-Plomb (t1/2 = 4,5 milliards d'années) est utilisé pour dater les roches très anciennes (géologie, âge de la Terre).
La décroissance radioactive
La décroissance radioactive est le processus naturel par lequel des noyaux atomiques instables (appelés noyaux pères) se désintègrent spontanément au cours du temps pour former des noyaux plus stables (noyaux fils), en émettant des rayonnements.
Ce phénomène suit une loi mathématique précise : c'est une décroissance exponentielle.
1. La formule fondamentale de la décroissance
Le nombre de noyaux radioactifs N(t) restant à un instant t est donné par la formule :
- N(t) : nombre de noyaux radioactifs restant à l'instant t.
- N0 : nombre de noyaux radioactifs initialement présents à t = 0.
- λ : constante radioactive propre à l'isotope considéré (exprimée en s−1, min−1, an−1, etc.).
- e : fonction exponentielle.
2. La notion de demi-vie (t1/2)
La demi-vie (ou période radioactive) d'un isotope est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux instables d'un échantillon se soit désintégrée.
Relation mathématique entre t1/2 et λ
Par définition, à t = t1/2, il reste N(t1/2) = N0/2.
En l'injectant dans la formule générale :
En prenant le logarithme népérien (ln) de chaque côté :
D'où la relation essentielle :
3. Calcul simplifié au bout de n demi-vies
Pour les exercices du baccalauréat en Enseignement Scientifique, une méthode visuelle et arithmétique suffit très souvent sans passer par l'exponentielle :
| Temps écoulé | Nombre de demi-vies (n) | Noyaux restants N(t) | % de noyaux restants |
|---|---|---|---|
| t = 0 | 0 | N0 | 100% |
| t = 1 × t1/2 | 1 | N0 / 2 | 50% |
| t = 2 × t1/2 | 2 | N0 / 4 | 25% |
| t = 3 × t1/2 | 3 | N0 / 8 | 12,5% |
| t = n × t1/2 | n | N0 / 2n | 100 / 2n % |
4. Exemples de calculs appliqués
Exemple 1 : Méthode arithmétique (Datation au Carbone 14)
Énoncé : Le Carbone 14 a une demi-vie t1/2 = 5730 ans. Un fragment de bois fossile retrouvé lors de fouilles ne contient plus que 12,5% du Carbone 14 initialement présent dans un arbre vivant. Quel est l'âge de ce morceau de bois ?
Résolution :
-
Déterminons le nombre de demi-vies écoulées pour atteindre 12,5% :
- 100% → 1ère demi-vie → 50%
- 50% → 2e demi-vie → 25%
- 25% → 3e demi-vie → 12,5%
-
Calcul de l'âge :
t = 3 × t1/2 = 3 × 5730 = 17 190 ans
Exemple 2 : Méthode analytique (Calcul précis avec l'exponentielle)
Énoncé : L'Iode 131 est utilisé en médecine nucléaire. Sa demi-vie est de t1/2 = 8 jours. On prépare une dose contenant N0 = 1,0 × 1012 noyaux. Combien de noyaux reste-t-il après 20 jours ?
Résolution :
-
Calcul de la constante radioactive λ (en jour−1) :
λ = ln(2) / t1/2 = 0,693 / 8 ≈ 0,0866 jour−1 -
Application de la loi de décroissance à t = 20 jours :
N(20) = N0 · e−λt = (1,0 × 1012) · e−0,0866 × 20
N(20) = (1,0 × 1012) · e−1,732 ≈ (1,0 × 1012) × 0,177 = 1,77 × 1011 noyaux
Pour les exercices de datation ou de calcul de pourcentage restant, commencez par compter le nombre de demi-vies écoulées. Si le pourcentage est une valeur simple (50%, 25%, 12,5%, 6,25%...), la méthode arithmétique est plus rapide. Si le pourcentage est quelconque (ex: 30%), utilisez la formule exponentielle avec le logarithme népérien.
Exercice type BAC (dans épreuve anticipée de math)
Énoncé : La datation de la grotte Chauvet
Découverte en 1994 en Ardèche, la grotte Chauvet renferme des peintures rupestres parmi les plus anciennes du monde. Pour déterminer l'âge des œuvres représentées (notamment des figures de bisons et de rhinocéros réalisées au charbon de bois), les scientifiques ont utilisé la méthode de datation au Carbone 14 (14C).
Données :
- Le Carbone 14 est un isotope radioactif dont la demi-vie est t1/2 = 5 730 ans.
- ln(2) ≈ 0,693
- Dans tout organisme vivant, le rapport entre la quantité de Carbone 14 et de Carbone 12 demeure constant. À sa mort, l'organisme cesse d'absorber du carbone et le 14C accumulé se désintègre progressivement.
Questions
1. Définition :
Rappeler la définition de la demi-vie t1/2 d'un noyau radioactif.
2. Analyse graphique / Raisonnement par étapes :
Soit N0 le nombre de noyaux de Carbone 14 présents dans un échantillon de charbon au moment de la mort de l'arbre.
a. Exprimer en fonction de N0 le nombre de noyaux N(t) restant au bout d'une durée t = 1 × t1/2, puis t = 2 × t1/2, puis t = 3 × t1/2.
b. Quel pourcentage des noyaux initiaux reste-t-il au bout de 3 × t1/2 ?
3. Application pratique à la grotte Chauvet :
L'analyse d'un fragment de charbon prélevé sur une peinture murale de la grotte montre qu'il ne contient plus que 1,56% de sa quantité initiale de Carbone 14 (N0).
a. Déterminer le nombre n de demi-vies écoulées depuis la fabrication du charbon de bois.
b. En déduire l'âge estimé de la peinture rupestre.
4. Calcul direct (Pour aller plus loin) :
Un autre échantillon prélevé dans la grotte présente un pourcentage restant de Carbone 14 de 2,5%.
En utilisant la formule N(t) = N0 · e−λt et la constante λ = ln(2) / t1/2, calculer l'âge précis t de cet échantillon (arrondir à la centaine d'années près).
Correction détaillée
Question 1
La demi-vie (t1/2) est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon se sont désintégrés.
Question 2
a.
- Pour t = 1 × t1/2 : N(t1/2) = N0 / 2
- Pour t = 2 × t1/2 : N(2·t1/2) = (N0/2)/2 = N0 / 4
- Pour t = 3 × t1/2 : N(3·t1/2) = (N0/4)/2 = N0 / 8
b.
Au bout de 3 demi-vies, la fraction de noyaux restants est :
N / N0 = 1/8 = 0,125 = 12,5%
Question 3
a. Poursuivons les divisions successives par 2 pour trouver le nombre de demi-vies correspondant à 1,56% :
- n = 1 → 50%
- n = 2 → 25%
- n = 3 → 12,5%
- n = 4 → 6,25%
- n = 5 → 3,125%
- n = 6 → 1,5625% ≈ 1,56%
Il s'est donc écoulé n = 6 demi-vies.
b. L'âge t du fragment est :
Question 4
L'échantillon contient 2,5% de sa quantité initiale, donc N(t) / N0 = 0,025.
Calcul de la constante radioactive λ :
Calcul de la durée t :
De la relation N(t) = N0 · e−λt, on déduit :
En appliquant la fonction logarithme népérien (ln) de chaque côté :
Application numérique :
Deux méthodes principales sont attendues en Enseignement Scientifique :
• Méthode arithmétique (par divisions successives) : rapide pour les pourcentages simples (50%, 25%, 12,5%, 6,25%, 3,125%, 1,5625%...).
• Méthode analytique (avec exponentielle et ln) : utilisée pour les pourcentages quelconques (2,5%, 30%, etc.) ou lorsque la question l'exige explicitement.
Ne confondez pas la datation au Carbone 14 (limite ~50 000 ans) et d'autres méthodes comme l'uranium-thorium ou la dendrochronologie.