Chapitre 2 — Statistiques descriptives

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, l’étudiant doit être capable de :

- calculer et interpréter une moyenne ;
- déterminer une médiane ;
- identifier le mode d’une série statistique ;
- comprendre la différence entre tendance centrale et dispersion ;
- calculer une étendue ;
- calculer une variance ;
- calculer un écart-type ;
- interpréter les principaux indicateurs statistiques dans un contexte d’entreprise ;
- choisir l’indicateur le plus pertinent selon la situation.

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1. Introduction aux statistiques descriptives

Dans le chapitre précédent, nous avons vu que les statistiques permettent de transformer des données brutes en informations utiles.

Les statistiques descriptives constituent la première étape de l'analyse.

Elles permettent de :

- résumer les données ;
- mesurer une tendance centrale ;
- mesurer la dispersion ;
- comparer plusieurs groupes ;
- identifier des comportements particuliers.

Les principaux indicateurs étudiés dans ce chapitre sont :

Mesures de tendance centrale

- moyenne ;
- médiane ;
- mode.

Mesures de dispersion

- étendue ;
- variance ;
- écart-type.

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2. Les mesures de tendance centrale

Une mesure de tendance centrale cherche à répondre à la question :

Quelle est la valeur qui représente le mieux le centre de la distribution des données ?

Les trois principaux indicateurs sont :

\boxed{\text{Moyenne — Médiane — Mode}}

Ces trois indicateurs ne donnent pas nécessairement le même résultat.

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3. La moyenne arithmétique

3.1. Définition

La moyenne arithmétique est obtenue en additionnant toutes les valeurs puis en divisant le résultat par le nombre d'observations.

Pour une série de (n) observations :

\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

ou :

\boxed{\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i}

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3.2. Exemple simple

Une entreprise analyse le montant de cinq commandes :

80,\quad 120,\quad 100,\quad 150,\quad 50

La moyenne est :

\bar{x}=\frac{80+120+100+150+50}{5}

\bar{x}=\frac{500}{5}=100

Le montant moyen d'une commande est donc :

\boxed{100,€}

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4. La moyenne dans un contexte commercial

Une entreprise réalise les chiffres d'affaires mensuels suivants :

MoisChiffre d'affaires
Janvier	80 000 €
Février	95 000 €
Mars	110 000 €
Avril	105 000 €
Mai	110 000 €

La moyenne mensuelle est :

\frac{80,000+95,000+110,000+105,000+110,000}{5} ]

\bar{x}=100,000,€

L'entreprise réalise donc en moyenne 100 000 € de chiffre d'affaires par mois sur cette période.

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5. Les limites de la moyenne

La moyenne peut être fortement influencée par des valeurs très élevées ou très faibles.

Exemple

Considérons les salaires mensuels suivants :

2,000,\quad 2,100,\quad 2,200,\quad 2,300,\quad 15,000

La moyenne est :

\frac{2,000+2,100+2,200+2,300+15,000}{5} ]

\bar{x}=4,720

La moyenne est donc de 4 720 €.

Pourtant, quatre des cinq personnes gagnent entre 2 000 € et 2 300 €.

La valeur de 15 000 € tire fortement la moyenne vers le haut.

Dans ce type de situation, la médiane peut être plus représentative.

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6. La médiane

6.1. Définition

La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif :

- 50 % des observations sont inférieures ou égales à la médiane ;
- 50 % des observations sont supérieures ou égales à la médiane.

Attention

Les données doivent d'abord être classées dans l'ordre croissant.

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7. Calcul de la médiane

7.1. Nombre impair d'observations

Prenons :

12,\quad 5,\quad 20,\quad 8,\quad 15

On ordonne les données :

5,\quad 8,\quad 12,\quad 15,\quad 20

Il y a cinq observations.

La valeur centrale est :

\boxed{12}

La médiane est donc 12.

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7.2. Nombre pair d'observations

Prenons :

10,\quad 20,\quad 30,\quad 40

Les deux valeurs centrales sont :

20 \quad \text{et} \quad 30

La médiane est leur moyenne :

Me=\frac{20+30}{2}=25

Donc :

\boxed{Me=25}

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8. Moyenne ou médiane ?

La moyenne et la médiane répondent à des objectifs différents.

Exemple

Reprenons les salaires :

2,000,\quad 2,100,\quad 2,200,\quad 2,300,\quad 15,000

La moyenne est :

\[4,720\]

La médiane est :

\[2,200\]

La médiane donne ici une meilleure idée de la situation du salarié « central », car elle est beaucoup moins influencée par le salaire exceptionnel de 15 000 €.

Règle pratique

- Données relativement homogènes → la moyenne est souvent pertinente.
- Présence de valeurs extrêmes → la médiane peut être plus représentative.

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9. Le mode

9.1. Définition

Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment dans une série statistique.

Exemple

Nombre de produits achetés :

2,\quad 3,\quad 2,\quad 4,\quad 2,\quad 5,\quad 3

La valeur 2 apparaît trois fois.

La valeur 3 apparaît deux fois.

La valeur 4 apparaît une fois.

La valeur 5 apparaît une fois.

Le mode est donc :

\boxed{2}

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10. Le mode dans une entreprise

Le mode est particulièrement intéressant pour analyser des données catégorielles.

Exemple

Une entreprise analyse les couleurs de produits les plus achetées :

CouleurNombre de ventes
Noir	420
Blanc	310
Bleu	250
Rouge	180

Le mode est :

\boxed{\text{Noir}}

C'est la catégorie qui apparaît le plus fréquemment.

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11. Comparaison moyenne, médiane et mode

IndicateurDéfinitionUtilité
Moyenne	Somme des valeurs / nombre de valeurs	Mesurer un niveau moyen
Médiane	Valeur centrale	Résister aux valeurs extrêmes
Mode	Valeur la plus fréquente	Identifier la catégorie ou valeur dominante

Exemple

Pour la série :

2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 8

on obtient :

Moyenne :

\frac{2+3+3+4+8}{5}=4

Médiane :

\[3\]

Mode :

\[3\]

Les trois indicateurs peuvent donc être différents.

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12. Les mesures de dispersion

Deux séries peuvent avoir exactement la même moyenne mais être très différentes.

Considérons :

Série A

8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12

Série B

2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18

Dans les deux cas :

\bar{x}=10

Pourtant, les données de la série B sont beaucoup plus dispersées.

Il faut donc compléter les mesures de tendance centrale par des mesures de dispersion.

Les principales sont :

- étendue ;
- variance ;
- écart-type.

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13. L'étendue

13.1. Définition

L'étendue mesure la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.

\boxed{\text{Étendue}=x\_{\max}-x\_{\min}}

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13.2. Exemple

Pour la série :

8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12

on a :

x\_{\max}=12

x\_{\min}=8

Donc :

\text{Étendue}=12-8=4

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14. Interprétation de l'étendue

Plus l'étendue est grande, plus les valeurs sont éloignées entre elles.

Exemple commercial

Deux magasins ont les chiffres d'affaires journaliers suivants.

Magasin A :

9,000,\ 10,000,\ 11,000

Étendue :

\[11,000-9,000=2,000\]

Magasin B :

5,000,\ 10,000,\ 15,000

Étendue :

\[15,000-5,000=10,000\]

Les deux magasins peuvent avoir le même chiffre d'affaires moyen, mais le magasin B présente une plus grande variabilité.

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15. La variance

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de leur moyenne.

L'idée est de mesurer :

À quelle distance les observations se trouvent-elles, en moyenne, par rapport à la moyenne ?

On commence par calculer les écarts à la moyenne :

x_i-\bar{x}

Puis on élève ces écarts au carré :

(x_i-\bar{x})^2

Enfin, on calcule leur moyenne.

Pour une population :

\boxed{ \sigma^2= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2 }

Pour un échantillon, on utilise généralement :

\boxed{ s^2= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 }

La distinction entre (N) et (n-1) sera importante dans les chapitres consacrés à l'inférence statistique.

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16. Exemple de calcul de variance

Considérons la série :

2,\quad 4,\quad 6

Étape 1 — Calcul de la moyenne

\bar{x}=\frac{2+4+6}{3}=4

Étape 2 — Calcul des écarts à la moyenne

(x_i)(x_i-\bar{x})
2	-2
4	0
6	2

Étape 3 — Élever les écarts au carré

(x_i)ÉcartÉcart²
2	-2	4
4	0	0
6	2	4

Étape 4 — Calcul de la variance

Si nous considérons ces trois valeurs comme l'ensemble de la population :

\sigma^2=\frac{4+0+4}{3}

\boxed{\sigma^2=\frac{8}{3}\approx2,67}

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17. Pourquoi élever les écarts au carré ?

Si l'on additionnait simplement les écarts :

\[(-2)+0+2=0\]

la dispersion semblerait être nulle.

Cela serait trompeur.

En utilisant les carrés :

\[(-2)^2+0^2+2^2=8\]

on obtient une mesure positive de la dispersion.

La variance est donc fondée sur les écarts quadratiques à la moyenne.

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18. L'écart-type

L'écart-type est la racine carrée de la variance.

\boxed{\sigma=\sqrt{\sigma^2}}

Pour un échantillon :

\boxed{s=\sqrt{s^2}}

L'écart-type est particulièrement utile parce qu'il est exprimé dans la même unité que les données.

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19. Exemple d'écart-type

Reprenons :

2,\quad4,\quad6

Nous avons obtenu :

\sigma^2\approx2,67

Donc :

\sigma=\sqrt{2,67}

\boxed{\sigma\approx1,63}

L'écart-type est donc environ égal à 1,63.

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20. Interprétation de l'écart-type

L'écart-type mesure la dispersion des observations autour de la moyenne.

Petit écart-type

Les observations sont relativement proches de la moyenne.

Grand écart-type

Les observations sont davantage dispersées.

Exemple

Deux commerciaux ont chacun un chiffre d'affaires moyen de 100 000 €.

Le commercial A présente un écart-type de 5 000 €.

Le commercial B présente un écart-type de 30 000 €.

Les moyennes sont identiques, mais la régularité des performances est différente.

Le chiffre d'affaires du commercial A est beaucoup plus concentré autour de sa moyenne.

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21. Attention : variance et écart-type

La variance est exprimée dans une unité au carré.

Si les données sont exprimées en euros, la variance est exprimée en euros².

Cela rend parfois son interprétation moins intuitive.

L'écart-type revient dans l'unité initiale.

Si le chiffre d'affaires est mesuré en euros :

- variance → €² ;
- écart-type → €.

C'est l'une des raisons pour lesquelles l'écart-type est très utilisé dans l'analyse des données.

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22. Synthèse des indicateurs

IndicateurMesureSens
Moyenne	Tendance centrale	Niveau moyen
Médiane	Tendance centrale	Valeur centrale
Mode	Tendance centrale	Valeur la plus fréquente
Étendue	Dispersion	Écart max-min
Variance	Dispersion	Dispersion quadratique
Écart-type	Dispersion	Dispersion dans l'unité initiale

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23. Choisir le bon indicateur

Le choix de l'indicateur dépend des données et de la question.

Exemple 1 — Salaire

Pour une population présentant quelques salaires extrêmement élevés, la médiane peut être informative.

Exemple 2 — Montant moyen d'une commande

La moyenne peut être pertinente pour mesurer le panier moyen.

Exemple 3 — Produit le plus vendu

Le mode est particulièrement adapté.

Exemple 4 — Régularité des ventes

L'écart-type peut être utilisé pour mesurer la dispersion des ventes.

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24. Application business — Analyse des ventes

Une entreprise observe les ventes journalières suivantes :

80,\ 90,\ 100,\ 110,\ 120

en milliers d'euros.

Moyenne

\bar{x}=\frac{80+90+100+110+120}{5}=100

Médiane

Les données sont déjà ordonnées.

La valeur centrale est :

\[Me=100\]

Mode

Aucune valeur ne se répète.

Il n'y a donc pas de mode.

Étendue

\[120-80=40\]

L'étendue est donc de :

\boxed{40,000,€}

La moyenne et la médiane sont de 100 000 €, tandis que l'étendue indique que les ventes observées couvrent une amplitude de 40 000 €.

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Exercices — Chapitre 2

Exercice 1 — Moyenne, médiane et mode

Une entreprise enregistre les montants suivants pour 7 commandes :

120,\ 80,\ 150,\ 100,\ 80,\ 200,\ 90

Calculez :

1. la moyenne ;
2. la médiane ;
3. le mode.

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Exercice 2 — Étendue

Les ventes quotidiennes d'un magasin sont :

12,000,\ 15,000,\ 11,000,\ 18,000,\ 14,000

Calculez l'étendue.

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Exercice 3 — Variance et écart-type

On considère la série :

4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12

1. Calculez la moyenne.
2. Calculez les écarts à la moyenne.
3. Calculez les carrés des écarts.
4. Calculez la variance en considérant la série comme une population.
5. Calculez l'écart-type.

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Exercice 4 — Interprétation business

Deux magasins ont chacun une vente moyenne quotidienne de 20 000 €.

- Magasin A : écart-type = 1 500 €
- Magasin B : écart-type = 6 000 €

1. Que peut-on dire de la dispersion des ventes ?
2. Quel magasin présente les ventes les plus régulières ?
3. Pourquoi la moyenne seule ne suffit-elle pas à comparer les deux magasins ?

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Corrigés — Chapitre 2

Corrigé de l'exercice 1

Données :

120,\ 80,\ 150,\ 100,\ 80,\ 200,\ 90

1. Moyenne

\frac{120+80+150+100+80+200+90}{7} ]

\frac{820}{7} ]

\boxed{\bar{x}\approx117,14}

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2. Médiane

On classe les données :

80,\ 80,\ 90,\ 100,\ 120,\ 150,\ 200

La valeur centrale est :

\boxed{100}

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3. Mode

La valeur 80 apparaît deux fois.

Toutes les autres valeurs apparaissent une seule fois.

Donc :

\boxed{\text{Mode}=80}

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Corrigé de l'exercice 2

Valeurs :

12,000,\ 15,000,\ 11,000,\ 18,000,\ 14,000

Maximum :

\[18,000\]

Minimum :

\[11,000\]

Donc :

\text{Étendue}=18,000-11,000

\boxed{\text{Étendue}=7,000,€}

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Corrigé de l'exercice 3

Données :

4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12

1. Moyenne

\frac{4+6+8+10+12}{5} ]

\boxed{\bar{x}=8}

2. Écarts à la moyenne

(x_i)(x_i-8)
4	-4
6	-2
8	0
10	2
12	4

3. Carrés des écarts

(x_i)ÉcartÉcart²
4	-4	16
6	-2	4
8	0	0
10	2	4
12	4	16

Somme des carrés :

\[16+4+0+4+16=40\]

4. Variance

La série est considérée comme une population :

\sigma^2=\frac{40}{5}

\boxed{\sigma^2=8}

5. Écart-type

\sigma=\sqrt{8}

\boxed{\sigma\approx2,83}

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Corrigé de l'exercice 4

Les deux magasins ont la même moyenne :

\[20,000,€\]

Mais leurs écarts-types sont différents.

Magasin A

\sigma_A=1,500,€

Magasin B

\sigma_B=6,000,€

Le magasin B présente donc une dispersion plus importante.

Le magasin A présente des ventes plus régulières autour de la moyenne.

La moyenne seule ne permet pas de connaître la dispersion des données.

Deux séries peuvent avoir exactement la même moyenne mais des niveaux de variabilité très différents.