Statistiques descriptives
Comment résumer et interpréter un ensemble de données ? Dans un contexte d'entreprise, les statistiques descriptives permettent de mesurer une tendance centrale, d'évaluer une dispersion et de comparer plusieurs groupes. Cette leçon présente les indicateurs essentiels : moyenne, médiane, mode, étendue, variance et écart-type.
Objectifs du chapitre
À la fin de ce chapitre, l'étudiant doit être capable de :
Calculer une moyenne
Calculer et interpréter une moyenne arithmétique.
Déterminer une médiane
Identifier la valeur centrale d'une série ordonnée.
Identifier le mode
Repérer la valeur la plus fréquente d'une série.
Tendance centrale vs dispersion
Comprendre la différence entre ces deux notions.
Calculer une étendue
Mesurer l'amplitude entre valeur max et min.
Calculer une variance
Mesurer la dispersion quadratique autour de la moyenne.
Calculer un écart-type
Interpréter la dispersion dans l'unité initiale.
Interpréter en contexte
Choisir l'indicateur le plus pertinent selon la situation.
Introduction aux statistiques descriptives
Dans le chapitre précédent, nous avons vu que les statistiques permettent de transformer des données brutes en informations utiles.
Les statistiques descriptives constituent la première étape de l'analyse.
Elles permettent de :
- résumer les données ;
- mesurer une tendance centrale ;
- mesurer la dispersion ;
- comparer plusieurs groupes ;
- identifier des comportements particuliers.
Les principaux indicateurs étudiés dans ce chapitre sont :
Mesures de tendance centrale
- moyenne ;
- médiane ;
- mode.
Mesures de dispersion
- étendue ;
- variance ;
- écart-type.
Les mesures de tendance centrale
Une mesure de tendance centrale cherche à répondre à la question :
Les trois principaux indicateurs sont :
Ces trois indicateurs ne donnent pas nécessairement le même résultat.
La moyenne arithmétique
Définition
La moyenne arithmétique est obtenue en additionnant toutes les valeurs puis en divisant le résultat par le nombre d'observations.
Pour une série de n observations :
ou :
Exemple simple
Une entreprise analyse le montant de cinq commandes :
La moyenne est :
Le montant moyen d'une commande est donc : 100 €.
La moyenne dans un contexte commercial
Une entreprise réalise les chiffres d'affaires mensuels suivants :
| Mois | Chiffre d'affaires |
|---|---|
| Janvier | 80 000 € |
| Février | 95 000 € |
| Mars | 110 000 € |
| Avril | 105 000 € |
| Mai | 110 000 € |
La moyenne mensuelle est :
L'entreprise réalise donc en moyenne 100 000 € de chiffre d'affaires par mois sur cette période.
Les limites de la moyenne
La moyenne peut être fortement influencée par des valeurs très élevées ou très faibles.
Exemple
Considérons les salaires mensuels suivants :
La moyenne est :
La moyenne est donc de 4 720 €.
Pourtant, quatre des cinq personnes gagnent entre 2 000 € et 2 300 €.
La valeur de 15 000 € tire fortement la moyenne vers le haut.
La médiane
Définition
La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif :
- 50 % des observations sont inférieures ou égales à la médiane ;
- 50 % des observations sont supérieures ou égales à la médiane.
Nombre impair d'observations
Prenons :
On ordonne les données :
Il y a cinq observations. La valeur centrale est :
Nombre pair d'observations
Prenons :
Les deux valeurs centrales sont :
La médiane est leur moyenne :
Moyenne ou médiane ?
La moyenne et la médiane répondent à des objectifs différents.
Reprenons les salaires :
La moyenne est : 4 720 €
La médiane est : 2 200 €
La médiane donne ici une meilleure idée de la situation du salarié « central », car elle est beaucoup moins influencée par le salaire exceptionnel de 15 000 €.
- Données relativement homogènes → la moyenne est souvent pertinente.
- Présence de valeurs extrêmes → la médiane peut être plus représentative.
Le mode
Définition
Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment dans une série statistique.
Exemple
Nombre de produits achetés :
La valeur 2 apparaît trois fois.
La valeur 3 apparaît deux fois.
La valeur 4 apparaît une fois.
La valeur 5 apparaît une fois.
Le mode est donc :
Le mode dans une entreprise
Le mode est particulièrement intéressant pour analyser des données catégorielles.
Une entreprise analyse les couleurs de produits les plus achetées :
| Couleur | Nombre de ventes |
|---|---|
| Noir | 420 |
| Blanc | 310 |
| Bleu | 250 |
| Rouge | 180 |
Le mode est : Noir.
C'est la catégorie qui apparaît le plus fréquemment.
Comparaison moyenne, médiane et mode
| Indicateur | Définition | Utilité |
|---|---|---|
| Moyenne | Somme des valeurs / nombre de valeurs | Mesurer un niveau moyen |
| Médiane | Valeur centrale | Résister aux valeurs extrêmes |
| Mode | Valeur la plus fréquente | Identifier la catégorie ou valeur dominante |
Exemple
Pour la série :
Moyenne = (2 + 3 + 3 + 4 + 8) / 5 = 4
Médiane = 3
Mode = 3
Les trois indicateurs peuvent donc être différents.
Les mesures de dispersion
Deux séries peuvent avoir exactement la même moyenne mais être très différentes.
Considérons :
Dans les deux cas : x̄ = 10
Pourtant, les données de la série B sont beaucoup plus dispersées.
Il faut donc compléter les mesures de tendance centrale par des mesures de dispersion.
Les principales sont :
- étendue ;
- variance ;
- écart-type.
L'étendue
Définition
L'étendue mesure la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
Exemple
Pour la série :
x_max = 12 et x_min = 8
Donc :
Interprétation de l'étendue
Plus l'étendue est grande, plus les valeurs sont éloignées entre elles.
Exemple commercial
Deux magasins ont les chiffres d'affaires journaliers suivants.
Étendue = 11 000 − 9 000 = 2 000 €
Étendue = 15 000 − 5 000 = 10 000 €
Les deux magasins peuvent avoir le même chiffre d'affaires moyen, mais le magasin B présente une plus grande variabilité.
La variance
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de leur moyenne.
L'idée est de mesurer :
On commence par calculer les écarts à la moyenne :
Puis on élève ces écarts au carré :
Enfin, on calcule leur moyenne.
Pour une population :
Pour un échantillon :
Exemple de calcul de variance
Considérons la série :
Étape 1 — Calcul de la moyenne
Étape 2 — Calcul des écarts à la moyenne
| xᵢ | xᵢ − x̄ |
|---|---|
| 2 | −2 |
| 4 | 0 |
| 6 | 2 |
Étape 3 — Élever les écarts au carré
| xᵢ | Écart | Écart² |
|---|---|---|
| 2 | −2 | 4 |
| 4 | 0 | 0 |
| 6 | 2 | 4 |
Étape 4 — Calcul de la variance
Si nous considérons ces trois valeurs comme l'ensemble de la population :
Pourquoi élever les écarts au carré ?
Si l'on additionnait simplement les écarts :
la dispersion semblerait être nulle. Cela serait trompeur.
En utilisant les carrés :
on obtient une mesure positive de la dispersion.
La variance est donc fondée sur les écarts quadratiques à la moyenne.
L'écart-type
L'écart-type est la racine carrée de la variance.
Pour un échantillon :
L'écart-type est particulièrement utile parce qu'il est exprimé dans la même unité que les données.
Exemple d'écart-type
Reprenons :
Nous avons obtenu :
Donc :
L'écart-type est donc environ égal à 1,63.
Interprétation de l'écart-type
L'écart-type mesure la dispersion des observations autour de la moyenne.
Les observations sont relativement proches de la moyenne.
Les observations sont davantage dispersées.
Exemple
Deux commerciaux ont chacun un chiffre d'affaires moyen de 100 000 €.
- Le commercial A présente un écart-type de 5 000 €.
- Le commercial B présente un écart-type de 30 000 €.
Les moyennes sont identiques, mais la régularité des performances est différente.
Le chiffre d'affaires du commercial A est beaucoup plus concentré autour de sa moyenne.
Attention : variance et écart-type
La variance est exprimée dans une unité au carré.
Si les données sont exprimées en euros, la variance est exprimée en euros².
Cela rend parfois son interprétation moins intuitive.
L'écart-type revient dans l'unité initiale.
- variance → €² ;
- écart-type → €.
C'est l'une des raisons pour lesquelles l'écart-type est très utilisé dans l'analyse des données.
Synthèse des indicateurs
| Indicateur | Mesure | Sens |
|---|---|---|
| Moyenne | Tendance centrale | Niveau moyen |
| Médiane | Tendance centrale | Valeur centrale |
| Mode | Tendance centrale | Valeur la plus fréquente |
| Étendue | Dispersion | Écart max-min |
| Variance | Dispersion | Dispersion quadratique |
| Écart-type | Dispersion | Dispersion dans l'unité initiale |
Choisir le bon indicateur
Le choix de l'indicateur dépend des données et de la question.
Pour une population présentant quelques salaires extrêmement élevés, la médiane peut être informative.
La moyenne peut être pertinente pour mesurer le panier moyen.
Le mode est particulièrement adapté.
L'écart-type peut être utilisé pour mesurer la dispersion des ventes.
Application business — Analyse des ventes
Une entreprise observe les ventes journalières suivantes (en milliers d'euros) :
Moyenne
Médiane
Les données sont déjà ordonnées. La valeur centrale est :
Mode
Aucune valeur ne se répète. Il n'y a donc pas de mode.
Étendue
L'étendue est donc de 40 000 €.
Exercices — Chapitre 2
Une entreprise enregistre les montants suivants pour 7 commandes :
Calculez :
- la moyenne ;
- la médiane ;
- le mode.
Les ventes quotidiennes d'un magasin sont :
Calculez l'étendue.
On considère la série :
- Calculez la moyenne.
- Calculez les écarts à la moyenne.
- Calculez les carrés des écarts.
- Calculez la variance en considérant la série comme une population.
- Calculez l'écart-type.
Deux magasins ont chacun une vente moyenne quotidienne de 20 000 €.
- Magasin A : écart-type = 1 500 €
- Magasin B : écart-type = 6 000 €
- Que peut-on dire de la dispersion des ventes ?
- Quel magasin présente les ventes les plus régulières ?
- Pourquoi la moyenne seule ne suffit-elle pas à comparer les deux magasins ?
Corrigés — Chapitre 2
Corrigé de l'exercice 1
Données :
1. Moyenne
2. Médiane
On classe les données :
La valeur centrale est : 100
3. Mode
La valeur 80 apparaît deux fois. Toutes les autres valeurs apparaissent une seule fois.
Donc : Mode = 80
Corrigé de l'exercice 2
Valeurs :
Maximum = 18 000
Minimum = 11 000
Corrigé de l'exercice 3
Données :
1. Moyenne
2. Écarts à la moyenne
| xᵢ | xᵢ − 8 |
|---|---|
| 4 | −4 |
| 6 | −2 |
| 8 | 0 |
| 10 | 2 |
| 12 | 4 |
3. Carrés des écarts
| xᵢ | Écart | Écart² |
|---|---|---|
| 4 | −4 | 16 |
| 6 | −2 | 4 |
| 8 | 0 | 0 |
| 10 | 2 | 4 |
| 12 | 4 | 16 |
Somme des carrés : 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
4. Variance
5. Écart-type
Corrigé de l'exercice 4
Les deux magasins ont la même moyenne : 20 000 €. Mais leurs écarts-types sont différents.
- Magasin A : σ_A = 1 500 €
- Magasin B : σ_B = 6 000 €
Le magasin B présente donc une dispersion plus importante.
Le magasin A présente des ventes plus régulières autour de la moyenne.
La moyenne seule ne permet pas de connaître la dispersion des données.
Deux séries peuvent avoir exactement la même moyenne mais des niveaux de variabilité très différents.
Quiz de connaissance
Testez votre compréhension des statistiques descriptives.
Final checklist
Vérifiez les compétences que vous maîtrisez désormais.
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