Dérivées des fonctions usuelles
Le calcul de la dérivée d'une fonction repose sur la connaissance des dérivées des fonctions de référence. Voici le tableau à connaître par cœur.
| Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Domaine de validité |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n$ entier $\ge 1$) | $n x^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $\dfrac{1}{x^n}$ ($n\ge 1$) | $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0;+\infty[$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
Opérations sur les fonctions dérivées
Les fonctions sont rarement aussi simples que les fonctions de référence. On doit souvent combiner des fonctions entre elles. Voici les règles de dérivation pour les opérations courantes.
Somme et différence
Produit
Quotient
Composée avec une fonction affine
$u'(x)=2x$, $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$h'(x) = 2x\sqrt{x} + x^2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x\sqrt{x} + \frac{x^{3/2}}{2} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$ (après simplification).
$u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$ ; $v(x)=x-3$, $v'(x)=1$.
$f'(x) = \dfrac{2(x-3) - (2x+1)\times 1}{(x-3)^2} = \dfrac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2} = \dfrac{-7}{(x-3)^2}$.
On reconnaît $f(X)=\sqrt{X}$ et $ax+b = 3x+5$. $f'(X)=\frac{1}{2\sqrt{X}}$.
Donc $k'(x) = 3 \times \frac{1}{2\sqrt{3x+5}} = \frac{3}{2\sqrt{3x+5}}$.
- Identifier la structure de la fonction (somme, produit, quotient, composée).
- Appliquer la règle correspondante en dérivant chaque sous-fonction.
- Simplifier l'expression obtenue (factoriser si possible).
Signe de la dérivée et sens de variation
La dérivée n'est pas qu'un outil de calcul : elle permet d'étudier les variations d'une fonction, une compétence centrale en analyse.
- Si $f'(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
- Si $f'(x) \le 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est constante sur $I$.
Les éventuels points où $f'(x)=0$ peuvent correspondre à un extremum local (maximum ou minimum) si la dérivée change de signe.
- Calculer $f'(x)$.
- Factoriser ou simplifier l'expression pour étudier son signe.
- Construire un tableau de signes de $f'(x)$.
- En déduire les intervalles de croissance/décroissance.
On a calculé $f'(x) = \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ (voir exercice type).
Le dénominateur est toujours $>0$. Le signe de $f'(x)$ est celui de $1-x^2 = (1-x)(1+x)$.
Tableau de signes : $f'(x) > 0$ sur $]-1;1[$ et $f'(x) < 0$ sur $]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$.
Donc $f$ est croissante sur $[-1;1]$, décroissante sur $]-\infty;-1]$ et $[1;+\infty[$.
Exercices corrigés
Exercice 1 – Dérivée d'un polynôme
Calculer la dérivée de $f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 7$.
Corrigé : $f'(x) = 3 \times 4x^3 - 5 \times 3x^2 + 2 \times 2x - 1 + 0 = 12x^3 - 15x^2 + 4x - 1$.
Exercice 2 – Dérivée avec produit
Soit $g(x) = (2x^2 - 1)\sqrt{x}$ pour $x > 0$. Calculer $g'(x)$.
Corrigé : $u(x)=2x^2-1$, $u'(x)=4x$ ; $v(x)=\sqrt{x}$, $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$g'(x) = 4x\sqrt{x} + (2x^2-1)\frac{1}{2\sqrt{x}} = 4x^{3/2} + \frac{2x^2-1}{2\sqrt{x}}$.
On peut réduire au même dénominateur : $g'(x) = \frac{8x^2 + 2x^2 - 1}{2\sqrt{x}} = \frac{10x^2 - 1}{2\sqrt{x}}$.
Exercice 3 – Variation d'une fonction rationnelle
Étudier les variations de $h(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$ sur $]-\infty;2[$ et $]2;+\infty[$.
Corrigé : $u(x)=x+1$, $u'(x)=1$ ; $v(x)=x-2$, $v'(x)=1$.
$h'(x) = \dfrac{1(x-2) - (x+1)\times 1}{(x-2)^2} = \dfrac{-3}{(x-2)^2}$.
Le dénominateur est un carré strictement positif (sauf en 2 où il n'est pas défini). Donc $h'(x) < 0$ sur chaque intervalle.
$h$ est strictement décroissante sur $]-\infty;2[$ et sur $]2;+\infty[$.
Exercice 4 – Composée avec une fonction affine
Dériver $p(x) = \cos(5x - \frac{\pi}{3})$.
Corrigé : On applique la règle $f(ax+b)$ avec $f(X)=\cos X$, $f'(X)=-\sin X$, $a=5$, $b=-\frac{\pi}{3}$.
$p'(x) = 5 \times (-\sin(5x - \frac{\pi}{3})) = -5 \sin(5x - \frac{\pi}{3})$.