Fonction exponentielle / Math : les cours / Les maths / épreuves anticipées / Première

1

Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est l'une des plus importantes en mathématiques. Elle est introduite comme l'unique fonction égale à sa dérivée et valant 1 en 0.

Définition : Il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : $$f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1.$$ Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée $\exp(x)$ ou plus simplement $e^x$.

Le nombre $e = \exp(1) \approx 2,71828$ est appelé la constante de Neper. On a alors $\exp(x) = e^x$.

Conséquence immédiate : La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ (car si elle s'annulait, elle serait nulle partout, ce qui contredit $f(0)=1$).

2

Propriétés algébriques

La fonction exponentielle transforme les sommes en produits, ce qui lui confère des propriétés très utiles.

Relation fonctionnelle : Pour tous réels $a$ et $b$, $$e^{a+b} = e^a \times e^b.$$ C'est la propriété fondamentale de l'exponentielle.

De cette relation découlent plusieurs conséquences immédiates :

$e^0 = 1$ (cohérent avec la définition).
Pour tout $x$, $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$.
$e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$.
Pour tout entier $n$, $(e^x)^n = e^{nx}$.

Méthode : Pour simplifier des expressions avec $e^x$, on utilise ces propriétés. Par exemple, $e^{2x} = (e^x)^2$, $e^{x+1} = e \times e^x$, etc.

Exemple : Simplifier $A = \dfrac{e^{3x} \times e^{-x}}{e^{2x-1}}$.
$A = \dfrac{e^{3x-x}}{e^{2x-1}} = \dfrac{e^{2x}}{e^{2x-1}} = e^{2x-(2x-1)} = e^1 = e$.

3

Étude de la fonction $x \mapsto e^x$

Dérivée et sens de variation

La dérivée de $e^x$ est $e^x$ elle-même : $(e^x)' = e^x$. Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Limites

$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ (l'axe des abscisses est asymptote horizontale).
$\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

Tableau de variations

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$f'(x) = e^x$		$+$
$f(x) = e^x$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Courbe représentative

La courbe de $e^x$ passe par le point $(0;1)$, croît de plus en plus vite vers $+\infty$ et se rapproche de l'axe des abscisses en $-\infty$ sans jamais le toucher.

Inégalité fondamentale : Pour tout réel $x$, on a $e^x \ge x + 1$ (la tangente en 0 est $y = x+1$, et la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes car la fonction est convexe, mais cela sera vu en Terminale).

4

Résolution d'équations et inéquations

On utilise la stricte croissance de l'exponentielle pour résoudre des équations et inéquations.

Équations : Pour tous réels $a$ et $b$, $e^a = e^b \iff a = b$.
Inéquations : Pour tous réels $a$ et $b$, $e^a < e^b \iff a < b$ (et de même pour $>$, $\le$, $\ge$).

Méthode pour $e^{u(x)} = e^{v(x)}$ : On applique directement l'équivalence : $u(x) = v(x)$, et on résout l'équation obtenue (souvent polynomiale).

Exemple : Résoudre $e^{2x-1} = e^{x+3}$.
$2x-1 = x+3 \iff x = 4$, donc $S = \{4\}$.

Cas plus complexes avec changement de variable : Pour les équations du type $e^{2x} + e^x + c = 0$, on pose $X = e^x$ (avec $X>0$). On obtient une équation polynomiale en $X$, on résout en ne gardant que les solutions strictement positives, puis on revient à $x$ via $\ln$ si nécessaire (en Première, on peut se limiter à des solutions évidentes ou à des cas où l'on n'a pas besoin de $\ln$ explicitement, mais le changement de variable est au programme).

Exemple : Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$.
On pose $X = e^x$ (donc $X>0$). L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$.
$\Delta = 9 - 8 = 1$, racines $X_1 = 1$, $X_2 = 2$. Les deux sont positives.
$X=1 \iff e^x = 1 \iff x = 0$ (car $e^0=1$).
$X=2 \iff e^x = 2 \iff x = \ln 2$ (la fonction $\ln$ n'étant pas au programme de Première, on peut admettre cette solution ou demander une valeur approchée).
Ainsi $S = \{0; \ln 2\}$.

⚠️ Attention : Toujours vérifier que les solutions trouvées pour $X$ sont bien $>0$ avant de conclure, car $e^x > 0$ pour tout réel $x$.

5

Exercices corrigés

Exercice 1 – Simplification

Simplifier l'expression $B = \dfrac{e^{2x+1} \times e^{-3x}}{(e^{x-1})^2}$.

Corrigé :
$B = \dfrac{e^{(2x+1)+(-3x)}}{e^{2(x-1)}} = \dfrac{e^{-x+1}}{e^{2x-2}} = e^{(-x+1)-(2x-2)} = e^{-3x+3} = e^{3(1-x)}$.

Exercice 2 – Dérivée avec exponentielle

Soit $f(x) = (x^2 - x)e^x$. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.

Corrigé :
On utilise la règle du produit : $u(x)=x^2-x$, $u'(x)=2x-1$ ; $v(x)=e^x$, $v'(x)=e^x$.
$f'(x) = (2x-1)e^x + (x^2-x)e^x = e^x(2x-1 + x^2 - x) = e^x(x^2 + x - 1)$.
$e^x > 0$, donc $f'(x)$ a le signe du trinôme $x^2 + x - 1$. Son discriminant $\Delta = 5$, racines $\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx -1,618$ et $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0,618$. $f'$ est négatif entre les racines, positif à l'extérieur.

Exercice 3 – Équation avec exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $e^{x^2-3x} = e^{-2}$.

Corrigé :
$e^{x^2-3x} = e^{-2} \iff x^2 - 3x = -2 \iff x^2 - 3x + 2 = 0$.
Racines évidentes $x=1$ et $x=2$. Donc $S = \{1; 2\}$.

Exercice 4 – Inéquation

Résoudre $e^{2x} \le e^{x+4}$.

Corrigé :
L'exponentielle est strictement croissante, donc l'inéquation équivaut à $2x \le x+4 \iff x \le 4$. D'où $S = ]-\infty; 4]$.