Dérivation (nombre dérivé et tangente) / Math : les cours / Les maths / Première

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Taux de variation d'une fonction

Pour comprendre la notion de dérivation, il faut d'abord saisir comment une fonction évolue entre deux points. Le taux de variation mesure la vitesse moyenne de variation de la fonction sur un intervalle.

Définition : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Pour deux réels distincts $a$ et $b$ dans $I$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est : $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$ C'est le coefficient directeur de la droite passant par les points $A(a; f(a))$ et $B(b; f(b))$, appelée sécante à la courbe.

En posant $b = a + h$ (avec $h \neq 0$), on écrit souvent le taux de variation sous la forme : $$\frac{f(a+h) - f(a)}{h}.$$ Cette expression sera fondamentale pour passer à la limite.

Exemple : Soit $f(x) = x^2$. Le taux de variation entre $a = 1$ et $b = 3$ est $\frac{9-1}{3-1} = 4$. Cela signifie qu'en moyenne, sur $[1;3]$, la fonction augmente de 4 unités pour une augmentation de 1 de $x$.

Méthode : Pour calculer un taux de variation, on calcule simplement la différence des images divisée par la différence des abscisses. On peut aussi l'exprimer en fonction de $h$ pour étudier la limite quand $h \to 0$.

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Nombre dérivé en un point

Le nombre dérivé est la limite du taux de variation lorsque l'intervalle devient infiniment petit. Il représente la vitesse instantanée de variation de la fonction en un point.

Définition : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel quand $h$ tend vers 0. Ce nombre, noté $f'(a)$, est appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$ : $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Si la limite existe et est finie, la fonction admet une tangente au point $A(a;f(a))$. Si la limite est infinie, il n'y a pas de tangente oblique (tangente verticale).

Exemple : Soit $f(x) = x^2$. Cherchons $f'(3)$. $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h.$$ Quand $h \to 0$, $6+h \to 6$, donc $f'(3) = 6$.

Méthode pour calculer un nombre dérivé avec la définition :

Écrire le taux $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Simplifier l'expression pour faire disparaître le $h$ au dénominateur (factoriser, développer…).
Passer à la limite quand $h \to 0$.

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Tangente à la courbe en un point

La tangente est la droite qui « épouse » la courbe au point de contact. Son coefficient directeur est précisément le nombre dérivé.

Équation de la tangente : Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation : $$y = f'(a)(x - a) + f(a).$$ C'est une droite passant par $A(a;f(a))$ et de coefficient directeur $f'(a)$.

Pour obtenir l'équation, il suffit de connaître $a$, $f(a)$ et $f'(a)$. On peut utiliser la formule du cours ou appliquer la forme $y = mx + p$ avec $m = f'(a)$, puis calculer $p$ avec le point $A$.

Exemple : Soit $f(x) = \sqrt{x}$ (définie pour $x \ge 0$). On admet $f'(4) = \frac{1}{4}$ (à savoir calculer plus tard).
Tangente en $a=4$ : $f(4)=2$. L'équation est $y = \frac{1}{4}(x - 4) + 2 = \frac{1}{4}x + 1$.

Méthode pour déterminer une tangente :

Calculer $f(a)$.
Calculer $f'(a)$ (à l'aide du taux de variation ou des formules de dérivées).
Appliquer la formule $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.

⚠️ Interprétation graphique : La tangente est la position limite des sécantes lorsque les deux points se rapprochent. Elle donne la direction de la courbe en $a$.

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Exercices corrigés

Exercice 1 – Taux de variation

Soit $f(x) = x^2 + 3x$. Calculer le taux de variation entre $a = 2$ et $a+h = 2+h$, puis en déduire $f'(2)$.

Corrigé : $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{[(2+h)^2 + 3(2+h)] - [4+6]}{h} = \frac{4+4h+h^2+6+3h -10}{h} = \frac{7h + h^2}{h} = 7 + h.$$ Quand $h \to 0$, $7+h \to 7$. Donc $f'(2) = 7$.

Exercice 2 – Équation de tangente

Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ (pour $x > 0$). On admet que $f'(2) = -\frac{1}{4}$. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.

Corrigé : $f(2) = \frac{1}{2}$. $f'(2) = -\frac{1}{4}$.
Tangente : $y = -\frac{1}{4}(x - 2) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + 1$.

Exercice 3 – Interprétation graphique

On donne ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ et sa tangente au point $A(1;3)$. Déterminer $f(1)$ et $f'(1)$.

Réponse : $f(1) = 3$ (point de contact). Le coefficient directeur de la tangente se lit graphiquement : pour un déplacement de 1 en abscisse, la droite monte de 2, donc $f'(1) = 2$.