Polynômes du second degré / Math : les cours / Les maths / Première

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Qu'est-ce qu'un polynôme du second degré ?

Un polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$. Les réels $a$, $b$ et $c$ sont appelés les coefficients.

Définition : Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $a \neq 0$. Cette fonction est appelée fonction polynôme du second degré (ou trinôme du second degré). L'expression $ax^2 + bx + c$ est sa forme développée.

La courbe représentative d'une telle fonction est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.

Exemples :

$f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ : $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.
$g(x) = -x^2 + 4$ : $a = -1$, $b = 0$, $c = 4$.
$h(x) = 3x^2 - 5x$ : $a = 3$, $b = -5$, $c = 0$.

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Forme canonique

La forme canonique permet de réécrire le trinôme pour faire apparaître le sommet de la parabole et faciliter la résolution de $f(x) = 0$.

Forme canonique : Pour tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$), il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta.$$ Avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a}$ où $\Delta = b^2 - 4ac$.

Méthode pour obtenir la forme canonique :

Factoriser par $a$ (sauf si $a=1$).
Reconnaître le début d'un carré parfait avec $x^2 + \frac{b}{a}x$.
Compléter le carré en ajoutant et retranchant $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$.
Simplifier pour obtenir $a(x - \alpha)^2 + \beta$.

Exemple : Mettre $f(x) = 2x^2 - 4x + 5$ sous forme canonique.
Corrigé : $f(x) = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2[(x-1)^2 - 1] + 5 = 2(x-1)^2 - 2 + 5 = 2(x-1)^2 + 3$. Ainsi $\alpha = 1$, $\beta = 3$. Le sommet est $(1;3)$.

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Discriminant et racines

Le discriminant $\Delta$ (Delta) permet de connaître le nombre de solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$, appelées racines du polynôme.

Discriminant : Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$, on pose $\Delta = b^2 - 4ac$.

Résolution de $ax^2 + bx + c = 0$ :

Si $\Delta < 0$ : l'équation n'a aucune solution réelle.
Si $\Delta = 0$ : une solution unique (racine double) $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
Si $\Delta > 0$ : deux solutions distinctes $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.$$

Exemple : Résoudre $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
Corrigé : $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$, $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25 > 0$.
$\sqrt{\Delta} = 5$, donc $x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -0,5$ et $x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$.
Les racines sont $-\frac{1}{2}$ et $2$.

⚠️ Attention : Si $\Delta$ est un carré parfait, les racines sont rationnelles (fractions simples). Sinon, on garde la forme avec $\sqrt{\Delta}$.

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Factorisation du trinôme

En fonction du signe de $\Delta$, on peut factoriser le polynôme $ax^2 + bx + c$.

Factorisation :

Si $\Delta > 0$ : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Si $\Delta = 0$ : $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$.
Si $\Delta < 0$ : pas de factorisation dans $\mathbb{R}$ (le trinôme est irréductible).

Exemple 1 : $f(x) = 2x^2 - 3x - 2$. $\Delta = 25$, racines $-0,5$ et $2$.
Donc $f(x) = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2)$.

Exemple 2 : $g(x) = x^2 - 6x + 9$. $\Delta = 0$, racine double $x_0 = 3$.
Donc $g(x) = (x-3)^2$.

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Signe du trinôme

Le signe de $ax^2 + bx + c$ dépend du signe de $a$ et de la position par rapport aux racines.

Règle du signe :

Si $\Delta < 0$ : le trinôme est toujours du signe de $a$.
Si $\Delta = 0$ : le trinôme est du signe de $a$, sauf en $x_0$ où il s'annule.
Si $\Delta > 0$ : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines.

$$ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & x_1 & & x_2 & & +\infty \\ \hline ax^2+bx+c & & \text{signe de } a & 0 & \text{signe de } -a & 0 & \text{signe de } a & \end{array} $$

Exemple : $f(x) = 2x^2 - 3x - 2$. $a = 2 > 0$, racines $-0,5$ et $2$.
Signe : $f(x) > 0$ sur $]-\infty; -0,5[ \cup ]2; +\infty[$ et $f(x) < 0$ sur $]-0,5; 2[$.

Exemple : $g(x) = -x^2 + 4x - 5$. $\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$, $a = -1 < 0$ donc $g(x) < 0$ pour tout $x$.

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Exercices corrigés

Exercice 1 – Résolution d'équation

Résoudre $3x^2 - 7x + 2 = 0$.

Corrigé : $\Delta = (-7)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 49 - 24 = 25$, $\sqrt{\Delta}=5$.
$x_1 = \frac{7-5}{6} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{7+5}{6} = 2$. Donc $S = \left\{\frac{1}{3}; 2\right\}$.

Exercice 2 – Inéquation

Résoudre $-x^2 + 5x - 6 \ge 0$.

Corrigé : On étudie le signe de $f(x) = -x^2 + 5x - 6$.
$\Delta = 25 - 24 = 1$, racines $x_1 = \frac{-5-1}{-2} = 3$ et $x_2 = \frac{-5+1}{-2} = 2$.
$a = -1 < 0$, donc $f(x) \ge 0$ entre les racines : $S = [2; 3]$.

Exercice 3 – Factorisation et simplification

Factoriser $4x^2 - 12x + 9$.

Corrigé : $\Delta = (-12)^2 - 4 \times 4 \times 9 = 144 - 144 = 0$.
Racine double $x_0 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Donc $4x^2 - 12x + 9 = 4\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 = (2x-3)^2$.