Suites géométriques / Math : les cours / Les maths / Première

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Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

Une suite géométrique est une suite numérique où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Définition : Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier $n$, $$u_{n+1} = q \times u_n.$$ Le nombre $q$ est appelé la raison de la suite.

Pour reconnaître une suite géométrique : on calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (à condition que $u_n \neq 0$). Si ce rapport est constant (ne dépend pas de $n$), la suite est géométrique et la constante est la raison $q$.

Exemple : La suite $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ est géométrique de raison $q = 2$ car $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = \cdots = 2$. On a $u_{n+1} = 2 u_n$ avec $u_0 = 1$.

⚠️ Attention : Si la raison est nulle, tous les termes à partir du rang 1 sont nuls (suite stationnaire à 0). Si le premier terme est nul, la suite est identiquement nulle, quel que soit $q$.

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Formule explicite et calcul d'un terme quelconque

Pour une suite géométrique, le terme général $u_n$ s'exprime directement en fonction de $n$ et du premier terme.

Formule explicite : Si $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$, alors pour tout entier $n$, $$u_n = u_0 \times q^n.$$ Plus généralement, si le premier terme est $u_p$ (rang $p$), on a : $$u_n = u_p \times q^{n-p}.$$

Méthode : Pour calculer un terme éloigné sans passer par la récurrence, on utilise la formule explicite. On identifie le premier terme et la raison, puis on élève la raison à la puissance $n$ (ou $n-p$).

Exemple : Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = \frac{1}{2}$.
Alors $u_n = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$u_5 = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 3 \times \frac{1}{32} = \frac{3}{32}$.

Exercice type : Une suite géométrique $(v_n)$ vérifie $v_1 = 5$ et $v_4 = 135$. Déterminer la raison $q$ et le premier terme $v_0$.
Corrigé : $v_4 = v_1 \times q^{4-1} = v_1 \times q^3$, donc $135 = 5 q^3 \Rightarrow q^3 = 27 \Rightarrow q = 3$.
Puis $v_1 = v_0 \times q \Rightarrow 5 = v_0 \times 3 \Rightarrow v_0 = \frac{5}{3}$.

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Somme des termes consécutifs

La somme des premiers termes d'une suite géométrique obéit à une formule très utile, à condition que la raison soit différente de 1.

Formule de la somme : Pour une suite géométrique de raison $q \neq 1$, la somme $S$ de $n$ termes consécutifs (de $u_0$ à $u_{n-1}$) est : $$S = u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}.$$ En particulier, pour tout $q \neq 1$, on a : $$1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1} = \frac{1 - q^n}{1 - q}.$$ Si le premier terme est $u_p$, la somme de $N$ termes est $u_p \times \frac{1 - q^N}{1 - q}$.

Méthode : Pour calculer une somme de termes d'une suite géométrique :

Vérifier que $q \neq 1$ (sinon la suite est constante, $S = N \times u_0$).
Identifier le premier terme $P$, la raison $q$ et le nombre de termes $N$.
Appliquer $S = P \times \frac{1 - q^N}{1 - q}$.

Exemple 1 : Calculer $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024$ (somme de termes d'une suite géométrique de raison 2).
Premier terme $1$, raison $2$. On cherche $n$ tel que $2^{n} = 1024 \Rightarrow n = 10$. Il y a $11$ termes (de $0$ à $10$).
$S = 1 \times \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \frac{1 - 2048}{-1} = 2047$.

Exemple 2 : Soit $(u_n)$ géométrique avec $u_2 = 6$ et $q = 3$. Calculer $S = u_3 + u_4 + \cdots + u_8$.
Corrigé : $u_3 = 6 \times 3 = 18$, nombre de termes $N = 8 - 3 + 1 = 6$, $q = 3$.
$S = 18 \times \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = 18 \times \frac{1 - 729}{-2} = 18 \times \frac{-728}{-2} = 18 \times 364 = 6552$.

À retenir : La formule n'est valable que si $q \neq 1$. Si $q = 1$, tous les termes sont égaux au premier terme, et la somme vaut $N \times u_0$.

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Sens de variation et limite

Le comportement d'une suite géométrique dépend de la valeur de sa raison $q$ et du signe du premier terme (si ce n'est pas une suite à termes alternés).

Variations (pour $u_0 > 0$) :

Si $q > 1$, la suite est strictement croissante.
Si $0 < q < 1$, la suite est strictement décroissante.
Si $q < 0$, la suite est non monotone (alternée).
Si $q = 1$, la suite est constante.

Si $u_0 < 0$, les inégalités sont inversées (ex : $q > 1$ et $u_0 < 0$ donne une suite décroissante).

Limite (pour $u_0 > 0$) :

Si $q > 1$, $\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$.
Si $0 < q < 1$, $\lim_{n\to +\infty} u_n = 0$.
Si $q = 1$, $\lim_{n\to +\infty} u_n = u_0$.
Si $q \le -1$, pas de limite (divergence oscillante).
Si $-1 < q < 0$, $\lim_{n\to +\infty} u_n = 0$ (convergence vers 0 en oscillant).

Exemple : $(u_n)$ définie par $u_n = 5 \times (0,8)^n$. Ici $q = 0,8 \in ]0;1[$, donc la suite est décroissante et $\lim u_n = 0$.

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Modèles discrets avec les suites géométriques

Les suites géométriques modélisent des phénomènes à évolution multiplicative : augmentations ou diminutions en pourcentage (taux fixe).

Exemple 1 – Placement bancaire : Un capital de 1000 € placé à 3 % par an. Le capital au bout de $n$ années est $C_n = 1000 \times (1,03)^n$. La raison est $q = 1,03$. On parle d'évolution à taux constant.

Exemple 2 – Décroissance radioactive : Une substance perd 10 % de sa masse chaque siècle. La masse restante après $n$ siècles est $M_n = M_0 \times (0,9)^n$. La raison est $q = 0,9$.

Méthode : Pour modéliser une situation concrète par une suite géométrique :

Identifier le coefficient multiplicateur (augmentation de $t\%$ ⇔ $q = 1 + \frac{t}{100}$, diminution ⇔ $q = 1 - \frac{t}{100}$).
Écrire la relation $u_{n+1} = q \times u_n$ avec la valeur initiale $u_0$.
Utiliser la formule explicite pour des prévisions à long terme.
Calculer éventuellement des sommes pour des cumuls (par exemple, valeur acquise par une suite de versements).

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Exercices corrigés

Exercice 1 – Déterminer une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_2 = 4$ et $u_5 = 32$. Déterminer $u_0$, la raison $q$ et l'expression de $u_n$.

Corrigé :

$u_5 = u_2 \times q^{3} \Rightarrow 32 = 4 q^3 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2$.

$u_2 = u_0 \times q^2 \Rightarrow 4 = u_0 \times 4 \Rightarrow u_0 = 1$.

Donc $u_n = 1 \times 2^n = 2^n$.

Exercice 2 – Somme de termes

Calculer $S = 3 + 6 + 12 + 24 + \cdots + 3072$ (termes d'une suite géométrique).

Corrigé :

Raison $q = 2$, premier terme $u_0 = 3$. Cherchons $n$ tel que $3 \times 2^n = 3072 \Rightarrow 2^n = 1024 \Rightarrow n = 10$. Il y a $11$ termes (de $0$ à $10$).

$S = 3 \times \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 3 \times \frac{1 - 2048}{-1} = 3 \times 2047 = 6141$.

Exercice 3 – Problème concret (épargne)

Un couple épargne 2000 € le 1er janvier 2026 sur un compte rémunéré à 2 % par an. On note $C_n$ le capital au 1er janvier de l'année $2026 + n$.

Donner la nature de la suite $(C_n)$, son premier terme et sa raison.
Quel sera le capital au 1er janvier 2036 ?
À partir de quelle année le capital dépassera-t-il 3000 € ? (Programmation Python).

Corrigé :

$C_0 = 2000$, $C_{n+1} = 1,02 \times C_n$. Suite géométrique de raison $q = 1,02$.
$n = 10$ ans : $C_{10} = 2000 \times (1,02)^{10} \approx 2000 \times 1,219 = 2438$ €.
On peut écrire l'algorithme suivant en Python :
```
capital = 2000
annee = 0
while capital <= 3000:
    capital = capital * 1.02
    annee = annee + 1
print(2026 + annee)
```
La réponse est environ 2048 (car $2000 \times 1,02^n > 3000 \Rightarrow n > \frac{\ln(1,5)}{\ln(1,02)} \approx 20,5$, donc $n = 21$, soit 2047).