Suites arithmétiques / Math : les cours / Les maths / Première

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Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Une suite arithmétique est une suite numérique où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

Définition : Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier $n$, $$u_{n+1} = u_n + r.$$ Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite.

Pour reconnaître une suite arithmétique : on calcule la différence $u_{n+1} - u_n$. Si cette différence est constante (ne dépend pas de $n$), la suite est arithmétique et la constante est la raison $r$.

Exemple : La suite des nombres impairs $1, 3, 5, 7, \ldots$ est arithmétique de raison $r = 2$ car $3 - 1 = 2$, $5 - 3 = 2$, etc. On a $u_{n+1} = u_n + 2$ avec $u_0 = 1$.

⚠️ Attention : Une suite peut n'être arithmétique qu'à partir d'un certain rang, mais dans le programme de Première, on considère le plus souvent des suites arithmétiques définies sur $\mathbb{N}$ tout entier.

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Formule explicite et calcul d'un terme quelconque

Pour une suite arithmétique, il est facile d'exprimer le terme général $u_n$ directement en fonction de $n$.

Formule explicite : Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, alors pour tout entier $n$, $$u_n = u_0 + n \times r.$$ Plus généralement, si le premier terme est $u_p$ (rang $p$), on a : $$u_n = u_p + (n - p) \times r.$$

Méthode : Pour calculer un terme éloigné sans calculer tous les précédents, on utilise la formule explicite. On identifie le premier terme et la raison, puis on remplace $n$ par l'indice souhaité.

Exemple : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 5$.
Alors $u_n = 3 + 5n$.
$u_{10} = 3 + 5 \times 10 = 53$.

Exercice type : Une suite arithmétique $(v_n)$ vérifie $v_2 = 7$ et $v_5 = 16$. Déterminer la raison et le premier terme $v_0$.
Corrigé : On a $v_5 = v_2 + (5-2) \times r$, donc $16 = 7 + 3r \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3$.
Ensuite $v_2 = v_0 + 2r \Rightarrow 7 = v_0 + 6 \Rightarrow v_0 = 1$.

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Somme des termes consécutifs

La somme des premiers termes d'une suite arithmétique se calcule avec une formule simple, à retenir absolument pour le Bac.

Formule de la somme : Pour une suite arithmétique, la somme $S$ de termes consécutifs est : $$S = \text{(nombre de termes)} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.$$ En particulier, la somme des $n$ premiers entiers non nuls est : $$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$ Plus généralement, pour la somme de $u_0$ à $u_{n-1}$ (soit $n$ termes) : $$u_0 + u_1 + \dots + u_{n-1} = n \times \frac{u_0 + u_{n-1}}{2}.$$

Méthode : Pour calculer une somme :

Déterminer le nombre de termes $N$.
Identifier le premier terme $P$ et le dernier terme $D$.
Appliquer $S = N \times \frac{P + D}{2}$.

Exemple 1 : Calculer $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 100$.
Nombre de termes : $N = 100$ ; premier terme $1$, dernier $100$.
$S = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 100 \times 50,5 = 5050$.

Exemple 2 : Soit $(u_n)$ arithmétique avec $u_0 = 2$ et $r = 4$. Calculer $S = u_3 + u_4 + \dots + u_{10}$.
Corrigé :

Calcul du nombre de termes : de l'indice 3 à 10, il y a $10 - 3 + 1 = 8$ termes.
$u_3 = u_0 + 3r = 2 + 12 = 14$ ; $u_{10} = 2 + 40 = 42$.
$S = 8 \times \frac{14 + 42}{2} = 8 \times 28 = 224$.

À retenir : La formule de la somme n'est valable que pour les suites arithmétiques. Pour les autres suites, il existe d'autres méthodes (suites géométriques, télescopiques…).

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Sens de variation et limite

Le comportement d'une suite arithmétique dépend uniquement du signe de sa raison $r$.

Variations :

Si $r > 0$, la suite est strictement croissante.
Si $r < 0$, la suite est strictement décroissante.
Si $r = 0$, la suite est constante.

La démonstration est immédiate : $u_{n+1} - u_n = r$.

Limite :

Si $r > 0$, alors $\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$.
Si $r < 0$, alors $\lim_{n\to +\infty} u_n = -\infty$.
Si $r = 0$, $\lim_{n\to +\infty} u_n = u_0$ (constante).

Exemple : $u_n = 10 - 0,5n$ (raison $-0,5$). La suite est décroissante et $\lim u_n = -\infty$.

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Modélisation concrète avec les suites arithmétiques

Les suites arithmétiques modélisent des phénomènes à évolution linéaire (augmentation ou diminution constante en valeur absolue).

Exemple 1 – Épargne : Chaque mois, on ajoute 50 € sur un compte. La somme cumulée suit une suite arithmétique de raison 50. Après $n$ mois, le total est $S_n = 50 + 100 + \dots + 50n = 50 \times \frac{n(n+1)}{2}$.

Exemple 2 – Construction : Un maçon empile des parpaings en formant un mur triangulaire : 1 parpaing au premier rang, 2 au deuxième, 3 au troisième… Le nombre total de parpaings pour $n$ rangs est $1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Méthode : Pour modéliser une situation concrète par une suite arithmétique :

Identifier le premier terme et l'augmentation (ou la diminution) constante.
Écrire la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + r$.
Expliciter $u_n$ en fonction de $n$.
Utiliser éventuellement la formule de somme pour un cumul.

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Exercices corrigés

Exercice 1 – Déterminer une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 8$ et $u_8 = 23$. Déterminer $u_0$, la raison $r$ et l'expression de $u_n$.

Corrigé :

$u_8 = u_3 + (8-3)r \Rightarrow 23 = 8 + 5r \Rightarrow 5r = 15 \Rightarrow r = 3$.

$u_3 = u_0 + 3r \Rightarrow 8 = u_0 + 9 \Rightarrow u_0 = -1$.

Donc $u_n = -1 + 3n$.

Exercice 2 – Somme de termes

Calculer la somme $S = 2 + 5 + 8 + \dots + 299$ (termes d'une suite arithmétique).

Corrigé :

Raison $r = 3$, premier terme $u_0 = 2$ (si l'on commence à $n=0$). On cherche le rang du dernier terme : $u_n = 2 + 3n = 299 \Rightarrow 3n = 297 \Rightarrow n = 99$. Il y a $100$ termes (de $0$ à $99$).

$S = 100 \times \frac{2 + 299}{2} = 100 \times 150,5 = 15\,050$.

Exercice 3 – Problème concret

Un jardinier souhaite border une allée de pierres. Le premier jour, il pose 12 pierres. Chaque jour suivant, il en pose 3 de plus que la veille. Combien aura-t-il posé de pierres en 30 jours ?

Corrigé :

Suite arithmétique de premier terme $u_1 = 12$ (jour 1) et raison $r = 3$. Le 30e jour, $u_{30} = 12 + (30-1)\times 3 = 12 + 87 = 99$.

Nombre total de pierres = somme des 30 premiers termes : $S = 30 \times \frac{12 + 99}{2} = 30 \times 55,5 = 1665$ pierres.