Suites numériques : cours complet et méthodes

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Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite numérique $u$ est une liste ordonnée de nombres réels indexés par des entiers naturels.

On note $u_0$ le premier terme, $u_1$ le deuxième, …, $u_n$ le terme de rang $n$ (ou d'indice $n$). La suite est souvent notée $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$.

Exemple : la suite $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ des carrés parfaits peut être notée $(u_n)$ avec $u_n = n^2$ pour $n \ge 0$.

⚠️ Attention : Une suite peut commencer à un autre indice que $0$, par exemple $u_1, u_2, u_3, \ldots$. On précisera alors le domaine de définition : $n \ge 1$, $n \ge 2$, etc.

Vocabulaire essentiel

Rang (ou indice) : la position du terme dans la suite ($n$).
Terme général : l'expression $u_n$ en fonction de $n$.
Premier terme : $u_0$ (ou $u_1$, $u_2$, selon l'énoncé).

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Modes de génération d'une suite

a) Suite définie par une formule explicite

Chaque terme $u_n$ est exprimé directement en fonction de son rang $n$.

Définition : Une suite $(u_n)$ est définie explicitement s'il existe une fonction $f$ telle que pour tout $n$, $$u_n = f(n).$$

Cela signifie que pour connaître $u_{100}$, il suffit de calculer $f(100)$ sans avoir besoin des termes précédents.

Exemples :

$u_n = 2n + 3$ (suite arithmétique de raison 2, premier terme $u_0=3$).
$v_n = \dfrac{1}{n+1}$ pour $n\ge 0$ : $v_0=1,\; v_1=1/2,\; v_2=1/3,\ldots$
$w_n = (-1)^n$ : les termes valent alternativement $1$ et $-1$.

Méthode : Pour calculer un terme quelconque, on remplace $n$ par sa valeur. Pour étudier les variations ou la limite, on étudie la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$ (si la suite est définie pour tout $n\ge0$).

Exercice type : Soit $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{3n-1}{n+2}$ pour $n\ge 0$.

Calculer $u_0$, $u_1$, $u_{10}$.
Étudier le sens de variation de $u_n$ en étudiant la fonction $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$ sur $\mathbb{R}^+$.
Conjecturer la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Corrigé :

$u_0 = \frac{-1}{2} = -0,5$ ; $u_1 = \frac{2}{3}$ ; $u_{10}=\frac{29}{12}\approx 2,417$.
$f'(x) = \frac{7}{(x+2)^2} > 0$, donc $f$ croissante, la suite est croissante.
$\lim_{x\to+\infty} f(x) = 3$. La suite semble tendre vers 3.

b) Suite définie par récurrence

Chaque terme est défini à partir du (ou des) terme(s) précédent(s).

Définition : Une suite $(u_n)$ est définie par récurrence lorsqu'on donne la valeur du (ou des) premier(s) terme(s) et une relation permettant de calculer chaque terme en fonction du (ou des) précédent(s). La relation la plus simple est de la forme : $$u_{n+1} = g(u_n)$$ où $g$ est une fonction, et on précise la valeur de $u_0$ (ou $u_1$).

Exemples :

$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n - 1$
$v_0 = 1$ et $v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n + 4$
$w_0 = 1$ et $w_{n+1} = \sqrt{w_n + 2}$

Méthode : Pour calculer les premiers termes, on applique la relation pas à pas. Pour étudier les variations, on peut utiliser un raisonnement par récurrence, ou étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.

Exercice type : Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$.

Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
Conjecturer le sens de variation et la limite.

Corrigé :

$u_1 = 5,5$ ; $u_2 = 5,75$ ; $u_3 = 5,875$.
La suite semble croissante et converger vers 6.

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Sens de variation d'une suite

Définitions :

Une suite $(u_n)$ est croissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \ge u_n$.
Elle est décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \le u_n$.
Elle est constante si pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n$.
Elle est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Méthode 1 : Étude du signe de $u_{n+1} - u_n$

Cette méthode fonctionne toujours.

Si $u_{n+1} - u_n \ge 0$ pour tout $n$, alors $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n \le 0$, décroissante.

Exemple : $u_n = n^2 - 10n$. $$u_{n+1} - u_n = 2n -9.$$ Pour $n \le 4$, décroissante ; pour $n \ge 5$, croissante.

Méthode 2 : Étude du quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$

⚠️ Condition : tous les termes doivent être strictement positifs.

Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$, $(u_n)$ est croissante.
Si $0 < \frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$, décroissante.

Exemple : $u_n = \dfrac{2^n}{n!}$ pour $n\ge 1$. $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2}{n+1} \le 1 \text{ pour } n\ge 1.$$ Décroissante.

Méthode 3 : Utilisation d'une fonction associée

Pour une suite explicite $u_n = f(n)$, si $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$, alors les variations de $f$ donnent celles de la suite.

Exemple : $u_n = \dfrac{1}{n+1}$. $f(x)=\frac{1}{x+1}$, $f'(x) < 0$, donc la suite est décroissante.

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Représentation graphique d'une suite

Une suite $(u_n)$ se représente par un nuage de points de coordonnées $(n; u_n)$.

Exemple : $u_n = \dfrac{n}{n+1}$. Points $(0,0)$, $(1,0.5)$, $(2,0.667)$… On observe un rapprochement vers $y=1$.

Diagramme en toile d'araignée

Pour une suite récurrente $u_{n+1}=g(u_n)$ : on trace $y=g(x)$ et $y=x$, puis on chemine de $u_0$ à $u_1$, $u_1$ à $u_2$, etc.

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Notion de limite (approche intuitive)

En Première, la notion de limite est introduite de manière intuitive.

a) Limite finie $\ell$

On dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$ si les termes deviennent « aussi proches que l'on veut » de $\ell$ quand $n$ est grand. On note $\lim u_n = \ell$.

Exemples : $\lim \frac{1}{n} = 0$, $\lim (3 + \frac{(-1)^n}{n}) = 3$.

b) Limite infinie

$\lim u_n = +\infty$ si $u_n$ devient aussi grand que l'on veut. Ex : $u_n = n^2$.

c) Absence de limite

Ex : $u_n = (-1)^n$ n'a pas de limite.

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Fiche méthode récapitulative

Étape	Questions à se poser	Outils
1. Définition	Explicite ou récurrente ?	Lire l'énoncé.
2. Premiers termes	Calculer $u_0, u_1, u_2, u_3$.	Substitution ou récurrence.
3. Variation	$u_{n+1} - u_n$ ou quotient ou $f'$.	Signe, tableau.
4. Graphique	Nuage de points ou toile d'araignée.	Calculatrice ou croquis.
5. Limite	Conjecturer $\lim u_n$.	Grandes valeurs, comparaison.

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Exercices corrigés

Exercice 1 (Suite explicite)

$u_n = \dfrac{3n}{2n+1}$ pour $n\ge0$.

$u_0=0$, $u_1=1$, $u_5\approx1,364$.
$f'(x) = \frac{3}{(2x+1)^2} > 0$ ⇒ suite croissante.
$\lim u_n = 1,5$. Points sous $y=1,5$.

Exercice 2 (Suite récurrente)

$v_0 = 1$, $v_{n+1} = \dfrac{1}{v_n + 1}$.

$v_1=0,5$, $v_2\approx0,667$, $v_3=0,6$, $v_4=0,625$.
Oscillante, bornée entre 0 et 1.
Converge vers $\approx0,618$ (nombre d'or moins 1).

Exercice 3 (Encadrement)

$u_n = \dfrac{\cos n}{n}$. $-\frac1n \le u_n \le \frac1n$ ⇒ $\lim u_n = 0$.

Suites numériques (généralités)