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Probabilité conditionnelle

Dans de nombreuses situations, on souhaite connaître la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement s'est déjà produit. Cela conduit à la notion de probabilité conditionnelle.

Définition : Soit $B$ un événement de probabilité non nulle ($P(B) > 0$). La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$, notée $P_B(A)$ (ou $P(A \mid B)$), est le réel : $$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$

Cette formule permet de « restreindre » l'univers à $B$ et d'évaluer la part de $A$ à l'intérieur de $B$.

Exemple : On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On note $A$ l'événement « tirer un roi », $B$ l'événement « tirer une carte de carreau ». Alors $P(B) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{32}$ (le roi de carreau). La probabilité de tirer un roi sachant que la carte est un carreau est $P_B(A) = \frac{1/32}{8/32} = \frac{1}{8}$.

Conséquence immédiate : On peut réécrire la formule sous la forme $P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)$. Cela permet de calculer une probabilité d'intersection en chaînant les conditions. Si $P(A) > 0$, on a aussi $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

Méthode : Pour calculer une probabilité conditionnelle, on identifie d'abord l'événement conditionnant (celui qu'on sait réalisé), on calcule sa probabilité, puis la probabilité de l'intersection. On applique ensuite la définition.

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Arbres pondérés

Les arbres pondérés sont un outil visuel très puissant pour organiser les probabilités conditionnelles dans une expérience aléatoire enchaînée.

Règles de construction :

Chaque nœud de l'arbre correspond à une situation (un événement).
Les branches issues d'un même nœud représentent les issues possibles à cette étape. La somme des probabilités sur ces branches est toujours égale à $1$.
Sur chaque branche, on inscrit une probabilité conditionnelle : $P(\text{événement suivant} \mid \text{événement du nœud précédent})$.
La probabilité d'un chemin (suite d'événements) est égale au produit des probabilités le long de ce chemin.
La probabilité d'un événement correspondant à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins (formule des probabilités totales, voir section suivante).

Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire une première boule, on ne la remet pas, puis on tire une seconde. L'arbre commence par le premier tirage : $R$ (rouge) avec probabilité $3/5$, $B$ (bleue) avec probabilité $2/5$. Ensuite, les probabilités conditionnelles au deuxième tirage dépendent du résultat du premier. Par exemple, $P_{R}(R) = 2/4 = 1/2$ (car après avoir tiré une rouge, il reste 2 rouges sur 4 boules). La probabilité d'obtenir deux rouges est $(3/5) \times (1/2) = 3/10$.

Méthode : Face à une situation probabiliste conditionnelle, construire un arbre pondéré. On indique les probabilités sur chaque branche (vérifier que la somme à chaque nœud fait 1). On lit les intersections en multipliant le long des chemins.

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Formule des probabilités totales

Lorsque l'univers $\Omega$ est partitionné par des événements $B_1, B_2, \ldots, B_n$ incompatibles et de réunion $\Omega$, on peut reconstituer la probabilité d'un événement $A$ en additionnant les probabilités de toutes les façons dont $A$ peut se réaliser.

Formule des probabilités totales : Si $\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}$ est une partition de l'univers (les $B_i$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est $\Omega$), alors pour tout événement $A$ : $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \times P_{B_i}(A).$$

Dans le cas le plus simple, la partition est constituée d'un événement $B$ et de son complémentaire $\overline{B}$. On a alors : $$P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\overline{B}) \times P_{\overline{B}}(A).$$

Exemple : Reprenons l'urne avec deux tirages sans remise. La partition naturelle est $\{R_1, B_1\}$ (résultat du premier tirage). Pour calculer la probabilité que la deuxième boule soit rouge, on applique la formule : $$P(R_2) = P(R_1) \times P_{R_1}(R_2) + P(B_1) \times P_{B_1}(R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}.$$

Méthode : Pour appliquer la formule des probabilités totales, on identifie une partition adaptée (souvent donnée par les premières étapes d'un arbre). On calcule les probabilités conditionnelles nécessaires, puis on somme les contributions.

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Événements indépendants

Deux événements sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre.

Définition : Deux événements $A$ et $B$ (de probabilités non nulles) sont indépendants si $P_A(B) = P(B)$, ou de manière équivalente si $P_B(A) = P(A)$. Cela se traduit par la formule symétrique : $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$$ Si cette égalité n'est pas vérifiée, les événements sont dépendants.

⚠️ Ne pas confondre : Indépendant $\neq$ incompatible. Deux événements incompatibles ($A \cap B = \emptyset$) ne sont indépendants que si l'un des deux est de probabilité nulle (car alors $0 = P(A)P(B)$). En général, des événements incompatibles sont fortement dépendants.

Exemple : On lance deux dés équilibrés. Soit $A$ « le premier dé donne 6 », $B$ « le deuxième dé donne 6 ». Alors $P(A)=1/6$, $P(B)=1/6$, $P(A \cap B)=1/36$. On a bien $1/36 = 1/6 \times 1/6$, donc $A$ et $B$ sont indépendants.

Méthode : Pour vérifier l'indépendance, on calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$ et on compare $P(A \cap B)$ à $P(A) \times P(B)$. Si l'égalité est vraie, les événements sont indépendants.

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Exercices corrigés

Exercice 1 – Probabilité conditionnelle

Dans une classe de 30 élèves, 18 étudient l'anglais, 12 l'espagnol, et 5 étudient les deux. On interroge un élève au hasard. Déterminer la probabilité qu'il étudie l'espagnol sachant qu'il étudie l'anglais.

Corrigé : Soit $A$ « étudie l'anglais », $E$ « étudie l'espagnol ». $P(A) = 18/30 = 3/5$, $P(E \cap A) = 5/30 = 1/6$. $P_A(E) = \frac{1/6}{3/5} = \frac{5}{18} \approx 0,278$.

Exercice 2 – Arbre et probabilités totales

Une usine produit des pièces avec deux machines M1 et M2. M1 produit 60% des pièces avec 2% de défauts, M2 produit 40% avec 5% de défauts. On prend une pièce au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?

Corrigé : $P(M_1)=0,6$, $P_{M_1}(D)=0,02$ ; $P(M_2)=0,4$, $P_{M_2}(D)=0,05$. $P(D) = 0,6 \times 0,02 + 0,4 \times 0,05 = 0,012 + 0,02 = 0,032$. Soit $3,2\%$.

Exercice 3 – Test diagnostic

Une maladie touche 1% de la population. Un test est positif chez 95% des malades, mais aussi chez 2% des non-malades. Quelle est la probabilité qu'une personne testée positive soit réellement malade ?

Corrigé : $M$ « malade », $T$ « test positif ». $P(M)=0,01$, $P_M(T)=0,95$, $P_{\overline{M}}(T)=0,02$. $P(T) = 0,01 \times 0,95 + 0,99 \times 0,02 = 0,0095 + 0,0198 = 0,0293$. $P_T(M) = \frac{0,0095}{0,0293} \approx 0,324$. Environ $32,4\%$. Ce résultat contre-intuitif illustre l'importance du conditionnement inverse.

Exercice 4 – Indépendance

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32. Soit $A$ « tirer un roi », $B$ « tirer une carte de carreau ». Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants.

Corrigé : $P(A) = 4/32 = 1/8$, $P(B) = 8/32 = 1/4$, $P(A \cap B) = 1/32$. $P(A) \times P(B) = 1/8 \times 1/4 = 1/32 = P(A \cap B)$. Donc $A$ et $B$ sont indépendants.