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Repérage dans l'espace

Pour repérer un point dans l'espace, on utilise un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ constitué d'une origine $O$ et de trois axes perpendiculaires deux à deux : l'axe des abscisses (porté par $\vec{i}$), l'axe des ordonnées (porté par $\vec{j}$) et l'axe des cotes (porté par $\vec{k}$).

Coordonnées d'un point : Tout point $M$ de l'espace est repéré par un triplet unique de réels $(x_M; y_M; z_M)$ tel que $$\overrightarrow{OM} = x_M \vec{i} + y_M \vec{j} + z_M \vec{k}.$$ On appelle $x_M$ l'abscisse, $y_M$ l'ordonnée et $z_M$ la cote de $M$.

On peut aussi définir les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ à partir de celles de $A$ et $B$ :

Coordonnées d'un vecteur : Si $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$, alors $$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A \;;\; y_B - y_A \;;\; z_B - z_A).$$

Exemple : $A(2; -1; 3)$ et $B(5; 0; 1)$. $\overrightarrow{AB} = (5-2; 0-(-1); 1-3) = (3; 1; -2)$.

Les opérations sur les vecteurs (somme, multiplication par un scalaire) sont identiques à celles du plan : on les effectue coordonnée par coordonnée.

⚠️ Note : En géométrie dans l'espace, toutes les formules sont données dans un repère orthonormé. C'est-à-dire que les vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ sont orthogonaux deux à deux et de norme 1. Sans cette condition, les formules de distance ou de produit scalaire ne sont plus valables telles quelles.

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Distance entre deux points

La distance entre deux points de l'espace généralise le théorème de Pythagore en trois dimensions.

Formule de distance : Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, la distance entre $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ est : $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.$$

On reconnaît la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Exemple : Calculer la distance entre $A(1; -2; 4)$ et $B(3; 0; 1)$.
$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (0-(-2))^2 + (1-4)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17} \approx 4,12$.

Méthode : Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on peut calculer les carrés des longueurs et vérifier la réciproque du théorème de Pythagore (en trois dimensions). Pour un triangle $ABC$, on calcule $AB^2$, $AC^2$, $BC^2$ et on teste si la somme de deux carrés égale le troisième.

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Milieu d'un segment

Le milieu d'un segment se calcule comme la moyenne des coordonnées des extrémités.

Coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ : $$I\left( \frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2} \;;\; \frac{z_A + z_B}{2} \right).$$

Exemple : Soit $A(2; -3; 5)$ et $B(4; 1; -1)$. Le milieu $I$ a pour coordonnées $\left(\frac{2+4}{2}; \frac{-3+1}{2}; \frac{5+(-1)}{2}\right) = (3; -1; 2)$.

Cette formule est analogue à celle du plan, avec une coordonnée supplémentaire.

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Équation d'une sphère

Une sphère est l'ensemble des points situés à une distance fixe (le rayon) d'un point fixe (le centre). Cette définition utilise naturellement la formule de distance dans l'espace.

Équation d'une sphère : La sphère de centre $\Omega(x_0; y_0; z_0)$ et de rayon $R > 0$ a pour équation : $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2.$$ Cette équation découle directement de $M\Omega = R$, élevée au carré.

On peut aussi rencontrer une forme développée $x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0$. Pour retrouver le centre et le rayon, on complète les carrés sur $x$, $y$ et $z$.

Exemple : Déterminer la nature de l'ensemble d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$.
On complète : $(x^2 - 2x) = (x-1)^2 - 1$, $(y^2 + 4y) = (y+2)^2 - 4$, $(z^2 - 6z) = (z-3)^2 - 9$. En remplaçant : $(x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + (z-3)^2 - 9 + 5 = 0 \iff (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 9$. C'est une sphère de centre $(1; -2; 3)$ et de rayon $3$.

Méthode : Pour identifier une sphère à partir d'une équation développée, on regroupe les termes en $x$, $y$, $z$ et on complète les carrés. Si le membre de droite final est positif, c'est une sphère ; s'il est nul, un point ; s'il est négatif, aucun point.

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Exercices corrigés

Exercice 1 – Coordonnées et distance

Soient $A(1; -2; 3)$, $B(4; 0; -1)$ et $C(2; 2; 5)$. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.

Corrigé :
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (0+2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.
$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (2+2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}$.
$BC = \sqrt{(2-4)^2 + (2-0)^2 + (5+1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$.

Exercice 2 – Triangle rectangle ?

Les points $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$ et $C(0; 0; 1)$ forment-ils un triangle rectangle ?

Corrigé : $AB^2 = 2$, $AC^2 = 2$, $BC^2 = 2$. $AB^2 + AC^2 = 4 \neq BC^2$, donc non. En réalité, le triangle est équilatéral (côtés de longueur $\sqrt{2}$).

Exercice 3 – Sphère à partir de deux points

Déterminer l'équation de la sphère de diamètre $[AB]$ avec $A(2; -1; 3)$ et $B(-4; 5; 1)$.

Corrigé : Le centre est le milieu $I$ de $[AB]$ : $I\left(\frac{2-4}{2}; \frac{-1+5}{2}; \frac{3+1}{2}\right) = (-1; 2; 2)$. Le rayon est $R = \frac{AB}{2}$. $AB = \sqrt{(-4-2)^2 + (5+1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 4} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$. Donc $R = \sqrt{19}$. L'équation est $(x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 19$.

Exercice 4 – Identification d'une sphère

L'ensemble d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z + 9 = 0$ est-il une sphère ?

Corrigé : On complète : $(x^2 - 4x) = (x-2)^2 - 4$, $(y^2 + 6y) = (y+3)^2 - 9$, $(z^2 - 2z) = (z-1)^2 - 1$. L'équation devient $(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 + (z-1)^2 - 1 + 9 = 0 \iff (x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-1)^2 = 5$. C'est une sphère de centre $(2; -3; 1)$ et de rayon $\sqrt{5}$.