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Équations cartésiennes d'une droite

Dans le plan muni d'un repère, une droite peut être décrite par une équation. La forme la plus générale est l'équation cartésienne.

Équation cartésienne : Toute droite du plan admet une équation de la forme : $$ax + by + c = 0$$ où $(a,b) \neq (0,0)$ (c'est-à-dire que $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls). $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

Exemple : la droite d'équation $3x - 2y + 5 = 0$ a pour coefficients $a = 3$, $b = -2$, $c = 5$.

L'équation cartésienne n'est pas unique : on peut multiplier tous les coefficients par un même réel non nul et obtenir une équation équivalente. Par exemple, $6x - 4y + 10 = 0$ représente la même droite.

Cas particuliers :

Si $b \neq 0$, on peut exprimer $y$ en fonction de $x$ : $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$. C'est l'équation réduite $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.
Si $b = 0$ et $a \neq 0$, l'équation devient $x = -\frac{c}{a}$ : c'est une droite verticale.
Si $a = 0$ et $b \neq 0$, l'équation devient $y = -\frac{c}{b}$ : c'est une droite horizontale.

Méthode : Pour tracer une droite à partir de son équation cartésienne, on peut déterminer deux points de la droite (par exemple, en fixant $x=0$ puis $y=0$, ou en choisissant deux valeurs quelconques) et les relier.

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Vecteurs directeurs et vecteurs normaux

À partir de l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$, on peut directement lire des vecteurs caractéristiques de la droite.

Vecteur directeur : Un vecteur directeur de la droite $ax + by + c = 0$ est $\vec{u}(-b ; a)$. Tout vecteur colinéaire à $\vec{u}$ est aussi un vecteur directeur.

Un vecteur directeur donne la direction de la droite. Si la droite est écrite sous forme réduite $y = mx + p$, un vecteur directeur est $\vec{u}(1 ; m)$.

Vecteur normal : Un vecteur normal à la droite $ax + by + c = 0$ est $\vec{n}(a ; b)$. Un vecteur normal est orthogonal à tout vecteur directeur de la droite. En effet, $\vec{n} \cdot \vec{u} = a \times (-b) + b \times a = 0$.

Le vecteur normal est très utile pour déterminer si deux droites sont perpendiculaires : $(d) \perp (d') \iff \vec{n}_d \cdot \vec{n}_{d'} = 0$ (ou bien leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux).

Exemple : Soit la droite $d : 2x - 3y + 4 = 0$. Un vecteur directeur est $\vec{u}(3 ; 2)$ (car $-b = -(-3)=3$, $a=2$). Un vecteur normal est $\vec{n}(2 ; -3)$. On vérifie : $2 \times 3 + (-3) \times 2 = 0$.

Méthode pour déterminer une équation de droite :

Si on connaît un point $A(x_A;y_A)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(p;q)$, un point $M(x;y)$ appartient à la droite si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. En posant le déterminant nul : $q(x - x_A) - p(y - y_A) = 0$. En développant, on obtient une équation cartésienne.
Si on connaît un point et un vecteur normal $\vec{n}(a;b)$, on écrit directement $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$.

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Équations de cercles

Un cercle est l'ensemble des points à une distance fixe d'un point donné. On distingue deux formes principales d'équation.

Cercle défini par son centre et son rayon

Équation d'un cercle : Le cercle de centre $\Omega(x_0 ; y_0)$ et de rayon $R > 0$ a pour équation : $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2.$$ Cette équation découle directement de la distance $M\Omega = R$ : $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} = R$.

Exemple : Le cercle de centre $C(2;-1)$ et de rayon $3$ a pour équation $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$.

Cercle défini par un diamètre

Équation d'un cercle de diamètre $[AB]$ : L'ensemble des points $M$ tels que le triangle $AMB$ soit rectangle en $M$ (ou que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$) est le cercle de diamètre $[AB]$ (privé des points $A$ et $B$ si on exige la stricte orthogonalité). Son équation est : $$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0.$$ On peut aussi retrouver le centre (milieu de $[AB]$) et le rayon (moitié de $AB$) pour écrire l'équation sous la forme précédente.

Exemple : Soit $A(1;2)$ et $B(5;4)$. L'équation du cercle de diamètre $[AB]$ est $(x-1)(x-5) + (y-2)(y-4) = 0$. En développant : $x^2 -6x +5 + y^2 -6y +8 = 0$, soit $x^2 + y^2 -6x -6y +13 = 0$.

Méthode générale : Pour reconnaître l'équation d'un cercle sous forme développée $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, on complète les carrés pour retrouver la forme $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Si le membre de droite est strictement positif, on a bien un cercle ; s'il est nul, un point ; s'il est négatif, aucun point.

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Exercices corrigés

Exercice 1 – Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur

Déterminer l'équation cartésienne de la droite passant par $A(3; -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2; 5)$.

Corrigé : $\overrightarrow{AM}(x-3; y+1)$ est colinéaire à $\vec{u}$ si le déterminant est nul : $\det(\vec{u}, \overrightarrow{AM}) = 2 \times (y+1) - 5 \times (x-3) = 0$. Donc $2y + 2 - 5x + 15 = 0 \iff -5x + 2y + 17 = 0$, ou encore $5x - 2y - 17 = 0$.

Exercice 2 – Équation avec un vecteur normal

Déterminer l'équation de la droite passant par $A(2; -3)$ et orthogonale au vecteur $\vec{n}(4; -1)$.

Corrigé : $\vec{n}$ est un vecteur normal, donc l'équation est $4(x-2) - 1(y+3) = 0 \iff 4x - 8 - y - 3 = 0 \iff 4x - y - 11 = 0$.

Exercice 3 – Cercle à partir de son centre et d'un point

Déterminer l'équation du cercle de centre $\Omega(1; -2)$ passant par $A(4; 2)$.

Corrigé : Le rayon est $R = \Omega A = \sqrt{(4-1)^2 + (2+2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$. L'équation est $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$.

Exercice 4 – Cercle de diamètre donné

Soient $A(-2; 3)$ et $B(4; 1)$. Déterminer l'équation du cercle de diamètre $[AB]$, puis son centre et son rayon.

Corrigé : L'équation produit scalaire : $(x+2)(x-4) + (y-3)(y-1) = 0 \iff x^2 -2x -8 + y^2 -4y +3 = 0 \iff x^2 + y^2 -2x -4y -5 = 0$. En complétant : $(x-1)^2 -1 + (y-2)^2 -4 -5 = 0 \iff (x-1)^2 + (y-2)^2 = 10$. Centre $(1;2)$, rayon $\sqrt{10}$.