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Définition avec le cosinus

Le produit scalaire permet de multiplier deux vecteurs pour obtenir un nombre réel. Il sert à mesurer l'angle entre deux vecteurs.

Produit scalaire (définition géométrique) : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls, et $\theta$ l'angle orienté entre eux. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ défini par : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta).$$ Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Cette définition met en jeu les longueurs des vecteurs et l'angle qu'ils forment. Le produit scalaire est positif si l'angle est aigu ($\cos\theta > 0$), négatif si l'angle est obtus ($\cos\theta < 0$), et nul si les vecteurs sont orthogonaux ($\theta = \pi/2$ ou $3\pi/2$).

Exemple : Soient $\vec{u}$ de norme 3, $\vec{v}$ de norme 2, et un angle de $60^\circ$ ($\pi/3$ rad). Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 \times \cos(60^\circ) = 6 \times \frac{1}{2} = 3$.

Méthode : Pour calculer un produit scalaire sans coordonnées, on utilise cette définition si l'on connaît les normes et l'angle. Pour trouver un angle, on isole $\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}$.

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Produit scalaire et projeté orthogonal

Cette formulation est très pratique lorsque l'un des vecteurs est porté par un axe ou une droite connue.

Produit scalaire avec le projeté : Soient $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$. Notons $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Alors : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}.$$ Autrement dit, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v'}\|$ où $\vec{v'}$ est le projeté orthogonal de $\vec{v}$ sur la direction de $\vec{u}$ (avec un signe : positif si $\vec{AH}$ est dans le même sens que $\vec{AB}$, négatif sinon).

En pratique, si les points $A$, $B$ et $C$ sont donnés, on projette $C$ sur $(AB)$. On lit la longueur $AH$ avec un signe (+ si $H$ est du même côté de $A$ que $B$, - sinon). Le produit scalaire est alors $AB \times AH$ (avec le signe).

Exemple : $ABC$ est un triangle rectangle en $B$. Alors le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $B$. Donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} = AB^2$. (Le produit scalaire donne $AB^2$.)

Méthode : Pour calculer un produit scalaire sans coordonnées et sans angle, on peut utiliser le projeté orthogonal si la configuration s'y prête (triangles rectangles, cercles, hauteurs…).

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Produit scalaire en coordonnées

Lorsque les vecteurs sont donnés dans un repère orthonormé, le produit scalaire est très simple à calculer.

Expression en coordonnées : Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$, alors : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'.$$

Cette formule permet aussi de retrouver facilement la norme d'un vecteur : $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Exemple : $\vec{u}(3; -2)$ et $\vec{v}(1; 4)$. Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + (-2) \times 4 = 3 - 8 = -5$.

Méthode : C'est la méthode la plus directe quand on a des coordonnées. On multiplie abscisses entre elles, ordonnées entre elles, et on additionne.

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Propriétés algébriques

Le produit scalaire se comporte comme une multiplication, avec quelques règles simples.

Propriétés : Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et tout réel $k$,

Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}$
$(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k (\vec{u} \cdot \vec{v})$

On en déduit les identités remarquables vectorielles, similaires à celles des nombres :

$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v}$
$\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v}$
$(\vec{u} + \vec{v})\cdot(\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$

Exemple : Si $\|\vec{u}\|=2$, $\|\vec{v}\|=3$ et $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1$, alors $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = 4 + 9 + 2\times1 = 15$, donc $\|\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{15}$.

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Orthogonalité de deux vecteurs

La notion d'orthogonalité est directement liée au produit scalaire.

Condition d'orthogonalité : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Cela découle de la définition avec le cosinus : $\cos(\pi/2) = 0$, donc le produit scalaire s'annule. En coordonnées, $\vec{u}(x; y) \perp \vec{v}(x'; y') \iff x x' + y y' = 0$.

Exemple : $\vec{u}(2; -3)$ et $\vec{v}(3; 2)$ sont-ils orthogonaux ? $2\times3 + (-3)\times2 = 6 - 6 = 0$, donc oui.

Application : Pour montrer qu'un triangle est rectangle en $A$, on vérifie que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.

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Exercices corrigés

Exercice 1 – Produit scalaire avec cosinus

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de normes respectives 4 et 5, et un angle de $120^\circ$ entre eux. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Corrigé : $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$. Donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 5 \times (-\frac{1}{2}) = -10$.

Exercice 2 – Avec le projeté orthogonal

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$, avec $AB = AC = 5$ et $BC = 6$. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ en utilisant la projeté de $C$ sur $(AB)$.

Corrigé : Soit $H$ le projeté de $C$ sur $(AB)$. Par symétrie, $H$ est le milieu de $AB$ ? Non, car le triangle est isocèle en $A$, la hauteur issue de $A$ est aussi médiatrice, mais le projeté de $C$ sur $(AB)$ n'est pas le milieu. On peut plutôt utiliser la formule de la médiane ou les coordonnées, mais l'exercice demande le projeté. Autre approche : utiliser le produit scalaire avec les longueurs : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$ (formule d'Al-Kashi). On trouve $= \frac{1}{2}(25+25-36) = 7$. On peut aussi dire que le projeté $H$ de $C$ sur $(AB)$ vérifie $AH = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 AB} = \frac{25+25-36}{2 \times 5} = \frac{14}{10}=1.4$. Alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB \times AH = 5 \times 1.4 = 7$. (On prend $AH$ positif car $H$ est entre $A$ et $B$.)

Exercice 3 – Orthogonalité en coordonnées

Soient $A(1;2)$, $B(4;3)$, $C(2;5)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?

Corrigé : $\overrightarrow{AB} = (3;1)$, $\overrightarrow{AC} = (1;3)$. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3\times1 + 1\times3 = 6 \neq 0$, donc non. Vérifions avec $\overrightarrow{BA} = (-3;-1)$ et $\overrightarrow{BC} = (-2;2)$ : $(-3)\times(-2) + (-1)\times2 = 6 -2 = 4 \neq 0$. $\overrightarrow{CA} = (-1;-3)$ et $\overrightarrow{CB} = (2;-2)$ : $(-1)\times2 + (-3)\times(-2) = -2 +6 = 4 \neq 0$. Le triangle n'est pas rectangle.

Exercice 4 – Calcul d'un angle

Soient $\vec{u}(2;5)$ et $\vec{v}(-1;3)$. Calculer une valeur approchée de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Corrigé : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times(-1) + 5\times3 = 13$. $\|\vec{u}\| = \sqrt{4+25}=\sqrt{29} \approx 5.385$, $\|\vec{v}\| = \sqrt{1+9}=\sqrt{10} \approx 3.162$. $\cos\theta = \frac{13}{5.385 \times 3.162} \approx \frac{13}{17.03} \approx 0.763$. Donc $\theta \approx \arccos(0.763) \approx 40.3^\circ$ (ou 0.704 rad).