Vecteurs / Math : les cours / Les maths / épreuves anticipées / Première

1

Définition et coordonnées d'un vecteur

En géométrie plane, un vecteur $\vec{u}$ est défini par une direction, un sens et une longueur (norme). Il peut être représenté par une flèche entre deux points.

Vecteur $\overrightarrow{AB}$ : Soient $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ deux points du plan. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées : $$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\;;\; y_B - y_A).$$

Ces coordonnées indiquent le déplacement horizontal (abscisse) et vertical (ordonnée) pour aller de $A$ vers $B$.

Exemple : Soient $A(2; 3)$ et $B(5; 1)$. Alors $\overrightarrow{AB} = (5-2\;;\; 1-3) = (3\;;\; -2)$.

Égalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. Ainsi, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff (x_B - x_A = x_D - x_C) \text{ et } (y_B - y_A = y_D - y_C)$.

Méthode : Pour déterminer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points, on soustrait les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité. Pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on montre que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

2

Opérations sur les vecteurs

Somme de deux vecteurs

Somme : Si $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$, alors $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x+x'\;;\; y+y')$.

Géométriquement, c'est la translation résultante : on met bout à bout les deux vecteurs.

Multiplication par un scalaire

Produit par un réel $k$ : Si $\vec{u}(x; y)$ et $k \in \mathbb{R}$, alors $k\vec{u} = (kx\;;\; ky)$.

Multiplier par $k$ allonge (si $|k|>1$) ou réduit (si $0<|k|<1$) le vecteur, et change son sens si $k<0$.

Exemple : Soient $\vec{u}(2; -3)$ et $\vec{v}(-1; 4)$. Alors $3\vec{u} - 2\vec{v} = (6; -9) - (-2; 8) = (6+2\;;\; -9-8) = (8\;;\; -17)$.

Méthode : On effectue les opérations coordonnée par coordonnée. On peut ainsi combiner les vecteurs pour en créer de nouveaux.

3

Colinéarité et déterminant

La colinéarité est la relation fondamentale en géométrie vectorielle. Elle traduit le fait que deux vecteurs ont la même direction.

Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ (ou $\vec{v} = k\vec{u}$). Cela signifie qu'ils ont la même direction.

Condition de colinéarité par le déterminant : Soient $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$. Alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = x y' - x' y = 0.$$

Le déterminant permet de tester la colinéarité sans avoir à trouver le coefficient $k$.

Exemple : $\vec{u}(3; -2)$ et $\vec{v}(-6; 4)$ sont-ils colinéaires ?
$\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$, donc oui.

Applications :

Alignement de trois points $A,B,C$ : Les points sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Parallélisme de deux droites $(AB)$ et $(CD)$ : Les droites sont parallèles si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exercice type : Soient $A(1;2)$, $B(3;5)$, $C(-1;-1)$. Les points sont-ils alignés ?
$\overrightarrow{AB} = (2; 3)$, $\overrightarrow{AC} = (-2; -3)$. $\det = 2 \times (-3) - (-2) \times 3 = -6 + 6 = 0$, donc oui, $A,B,C$ sont alignés.

4

Milieu d'un segment et distance

Milieu

Coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ : $$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right).$$

Distance entre deux points

Distance $AB$ (norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$) : $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.$$

Cette formule découle du théorème de Pythagore. La distance est toujours positive.

Exemple : $A(1; -2)$ et $B(4; 2)$. Milieu $I = \left(\frac{1+4}{2}\;;\; \frac{-2+2}{2}\right) = (2.5\;;\; 0)$. Distance $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{9+16} = 5$.

5

Exercices corrigés

Exercice 1 – Coordonnées d'un vecteur

Soient $A(2; -1)$, $B(5; 0)$ et $C(3; 4)$. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.

Corrigé : $\overrightarrow{AB} = (3; 1)$, $\overrightarrow{AC} = (1; 5)$. La somme donne $(4; 6)$.

Exercice 2 – Colinéarité et alignement

Les points $A(2; -1)$, $B(5; 0)$ et $C(11; 2)$ sont-ils alignés ?

Corrigé : $\overrightarrow{AB} = (3; 1)$, $\overrightarrow{AC} = (9; 3)$. $\det = 3 \times 3 - 9 \times 1 = 9 - 9 = 0$ ⇒ les vecteurs sont colinéaires, donc $A, B, C$ sont alignés.

Exercice 3 – Nature d'un triangle

Soit $A(-1; 2)$, $B(2; 1)$, $C(0; -2)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

Corrigé : Calculons les longueurs : $AB = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$, $AC = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{17}$, $BC = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$. Aucune égalité de longueurs, donc triangle quelconque.

Exercice 4 – Parallélogramme

Soient $A(1; 2)$, $B(4; 0)$, $C(5; 3)$. Déterminer les coordonnées de $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

Corrigé : On doit avoir $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. $\overrightarrow{AB} = (3; -2)$. Si $D(x; y)$, alors $\overrightarrow{DC} = (5-x; 3-y) = (3; -2)$. Donc $5-x = 3 \Rightarrow x = 2$, et $3-y = -2 \Rightarrow y = 5$. Ainsi $D(2; 5)$.