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Variable aléatoire et loi de probabilité

Une variable aléatoire (VA) est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Elle permet de quantifier le hasard et de le manipuler mathématiquement.

Définition : Soit $\Omega$ l'univers d'une expérience aléatoire. Une variable aléatoire réelle $X$ est une fonction définie sur $\Omega$, à valeurs dans $\mathbb{R}$.

Exemple simple : on lance une pièce de monnaie. On peut définir $X$ par $X(\text{Pile}) = 1$ et $X(\text{Face}) = 0$. La VA $X$ compte le nombre de « Pile ».

Loi de probabilité

Connaître la loi de probabilité de $X$, c'est donner l'ensemble des valeurs $x_i$ que peut prendre $X$, ainsi que la probabilité de chaque valeur.

Loi de probabilité : Si $X$ prend les valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$, la loi de $X$ est la donnée des probabilités $p_i = P(X = x_i)$ pour chaque $i$. On a toujours $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$.

Exemple : On lance deux dés équilibrés à 6 faces. Soit $X$ la somme des deux faces. Les valeurs possibles sont $2, 3, \ldots, 12$. Voici la loi de $X$ :

$x_i$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$p_i$	$1/36$	$2/36$	$3/36$	$4/36$	$5/36$	$6/36$	$5/36$	$4/36$	$3/36$	$2/36$	$1/36$

La somme des probabilités vaut bien $1$.

Méthode : Pour établir la loi d'une VA, on détermine toutes les valeurs possibles, puis on calcule la probabilité de chacune en dénombrant les issues favorables (si équiprobabilité) ou en utilisant les règles de probabilités (conditionnelles, arbres…).

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Espérance mathématique

L'espérance d'une variable aléatoire est la moyenne pondérée des valeurs qu'elle peut prendre, pondérées par leurs probabilités. Elle représente la valeur moyenne que l'on obtiendrait si l'on répétait l'expérience un grand nombre de fois.

Espérance $E(X)$ : Si $X$ prend les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$, alors $$E(X) = \sum_{i} p_i x_i = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n.$$

Exemple (somme de deux dés) : Avec la loi précédente, $$E(X) = 2\cdot\frac{1}{36} + 3\cdot\frac{2}{36} + \cdots + 12\cdot\frac{1}{36} = 7.$$ En moyenne, la somme de deux dés vaut 7.

Linéarité de l'espérance : Pour toute VA $X$ et tous réels $a,b$, $$E(aX + b) = a E(X) + b.$$ Cette propriété est très pratique pour calculer l'espérance après transformation affine.

Interprétation : L'espérance permet d'évaluer si un jeu est équitable (espérance nulle) ou favorable au joueur (espérance positive). Dans les problèmes concrets, on compare souvent l'espérance à un coût ou à un gain moyen.

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Variance et écart-type

La variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance. Plus ils sont grands, plus les valeurs sont dispersées.

Variance $V(X)$ : $$V(X) = \sum_{i} p_i (x_i - E(X))^2 = E\big((X - E(X))^2\big).$$ La variance est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance.

Formule alternative (Koenig-Huygens) : $$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2,$$ où $E(X^2) = \sum_i p_i x_i^2$. Cette formule est souvent plus simple à appliquer.

Écart-type $\sigma(X)$ : $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$$ L'écart-type s'exprime dans la même unité que la variable $X$, ce qui le rend plus concret que la variance.

Exemple : Soit $X$ une VA prenant les valeurs $0, 1, 2$ avec les probabilités $0.3, 0.5, 0.2$.
$E(X) = 0\cdot0.3 + 1\cdot0.5 + 2\cdot0.2 = 0.9$.
$E(X^2) = 0^2\cdot0.3 + 1^2\cdot0.5 + 2^2\cdot0.2 = 0.5 + 0.8 = 1.3$.
Donc $V(X) = 1.3 - (0.9)^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$.
$\sigma(X) = \sqrt{0.49} = 0.7$.

Propriétés de la variance (hors programme mais utile) : $$V(aX + b) = a^2 V(X).$$ L'écart-type vérifie $\sigma(aX + b) = |a| \sigma(X)$.

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Exercices corrigés

Exercice 1 – Loi et espérance (jeu de fléchettes)

Un joueur lance une fléchette sur une cible avec trois zones : la zone centrale (rouge) rapporte 10 points (probabilité 0.1), la zone intermédiaire (verte) rapporte 5 points (probabilité 0.3), la zone extérieure (bleue) rapporte 2 points (probabilité 0.6). Soit $X$ le nombre de points obtenus. Donner la loi de $X$ et calculer son espérance.

Corrigé : La loi est : $P(X=10)=0.1$, $P(X=5)=0.3$, $P(X=2)=0.6$. $E(X) = 10\times0.1 + 5\times0.3 + 2\times0.6 = 1 + 1.5 + 1.2 = 3.7$. En moyenne, le joueur marque 3.7 points par lancer.

Exercice 2 – Variance et écart-type

On considère la VA $Y$ dont la loi est donnée par le tableau suivant. Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$.

$y_i$	1	2	3	4
$p_i$	$0.2$	$0.4$	$0.3$	$0.1$

Corrigé :
$E(Y) = 1\times0.2 + 2\times0.4 + 3\times0.3 + 4\times0.1 = 0.2 + 0.8 + 0.9 + 0.4 = 2.3$.
$E(Y^2) = 1^2\times0.2 + 4\times0.4 + 9\times0.3 + 16\times0.1 = 0.2 + 1.6 + 2.7 + 1.6 = 6.1$.
$V(Y) = 6.1 - (2.3)^2 = 6.1 - 5.29 = 0.81$.
$\sigma(Y) = \sqrt{0.81} = 0.9$.

Exercice 3 – Espérance de gain et jeu équitable

Un jeu consiste à lancer un dé équilibré. Si le dé tombe sur 6, on gagne 10€. Si le dé tombe sur 1 ou 2, on perd 3€. Sinon, on ne gagne rien ni ne perd rien (gain nul). On note $G$ le gain algébrique. Déterminer la loi de $G$, son espérance et dire si le jeu est favorable au joueur.

Corrigé : Loi de $G$ : $P(G=10) = 1/6$ ; $P(G=-3) = 2/6 = 1/3$ ; $P(G=0) = 3/6 = 1/2$.
$E(G) = 10\times\frac{1}{6} - 3\times\frac{1}{3} + 0\times\frac{1}{2} = \frac{10}{6} - 1 = \frac{10}{6} - \frac{6}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.67€$. Le jeu est favorable au joueur (espérance positive).

Exercice 4 – Transformation affine

Soit $X$ une VA avec $E(X)=5$ et $V(X)=4$. On définit $Y = -2X + 3$. Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$.

Corrigé : $E(Y) = -2E(X) + 3 = -2\times5 + 3 = -7$. $V(Y) = (-2)^2 V(X) = 4 \times 4 = 16$. $\sigma(Y) = 4$.