Sujets types (spécialité)

Publié le 23 juin 2026 à 10:54

Pour réussir en spécialité mathématiques, il est essentiel de s’entraîner sur des sujets types de niveau Première. Ces exercices permettent de se familiariser avec la structure des évaluations, de mobiliser plusieurs notions du programme dans une même situation et d’acquérir les automatismes attendus au lycée. Cette sélection de sujets vous aide à préparer efficacement les contrôles, les devoirs surveillés et la poursuite des études en Terminale.

10 Exercices - Épreuve anticipée Maths Première

📐 10 exemples de sujets avec corrigés détaillés

Spécialité Mathématiques Première · Préparation à l'épreuve anticipée du bac

1 Second degré

  1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(2x^2 - 3x - 2 = 0\).
  2. Factoriser le polynôme \(P(x) = 2x^2 - 3x - 2\).
  3. Étudier le signe de \(-x^2 + 5x - 6\) sur \(\mathbb{R}\).
  4. Déterminer la (les) valeur(s) du paramètre \(m\) pour que l'équation \(x^2 + mx + 9 = 0\) admette une unique solution réelle.

2 Suites et capitalisation

Un capital de 10 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 3 %.

  1. On note \(C_n\) le capital (en euros) au bout de \(n\) années. Donner la nature de la suite \((C_n)\) et exprimer \(C_n\) en fonction de \(n\).
  2. Déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse 15 000 €.
  3. Chaque année, on retire 200 € après le versement des intérêts. Le capital \(U_n\) vérifie \(U_{n+1} = 1{,}03U_n - 200\) avec \(U_0 = 10\,000\).
    1. On pose \(V_n = U_n - \frac{20\,000}{3}\). Montrer que \((V_n)\) est géométrique.
    2. Exprimer \(V_n\) puis \(U_n\) en fonction de \(n\).
    3. Déterminer la limite de \((U_n)\) et interpréter.

3 Fonction exponentielle

  1. Simplifier au maximum l'expression \(A = e^{2x} \times e^{-3x+1} \times (e^{x-1})^2\).
  2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(e^{x^2 - 4} = e^{3x}\).
  3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x - 2)e^x\).
    1. Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations de \(f\).
    2. Sachant que \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = 0\) et \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty\), dresser le tableau de variation complet de \(f\).

4 Trigonométrie

  1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), puis donner les solutions dans \(]-\pi ; \pi]\).
  2. Résoudre dans \([0 ; \pi]\) \(\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
  3. Soit \(g(x) = \sin x + \cos x\) sur \([0 ; \frac{\pi}{2}]\).
    1. Calculer \(g'(x)\) et déterminer son signe.
    2. En déduire le maximum de \(g\) sur cet intervalle.

5 Produit scalaire dans le plan

Dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i}, \vec{j})\), on donne \(A(1;2)\), \(B(4;-1)\) et \(C(5;3)\).

  1. Calculer les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\). Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?
  2. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de \(A\).
  3. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\). Déterminer les coordonnées de \(H\).
  4. En déduire l'aire du triangle \(ABC\).

6 Probabilités conditionnelles

Une étude montre que 40 % des clients achètent un vêtement, 25 % un accessoire et 15 % achètent les deux. On interroge un client au hasard.

  1. Probabilité qu'il achète au moins un des deux types d'articles ?
  2. Probabilité qu'il achète un accessoire sachant qu'il a acheté un vêtement ?
  3. Les événements « acheter un vêtement » et « acheter un accessoire » sont-ils indépendants ?
  4. On interroge 5 clients indépendamment. Probabilité qu'exactement 3 achètent un vêtement ?

7 Loi binomiale

On lance deux dés équilibrés et on note \(S\) la somme des résultats.

  1. Déterminer la loi de probabilité de \(S\).
  2. Calculer l'espérance et la variance de \(S\).
  3. On répète 8 fois cette expérience. \(X\) = nombre de fois où \(S = 7\).
    1. Quelle loi suit \(X\) ? Paramètres ?
    2. Calculer \(P(X = 2)\) et \(P(X \geq 1)\).

8 Algorithmique et simulation

Pièce truquée : \(P(\text{Pile}) = 0{,}3\).

  1. Écrire une fonction Python une_experience(n) qui simule \(n\) lancers et renvoie le nombre de Pile.
  2. On estime la probabilité d'obtenir au moins 40 Pile sur 100 lancers par 10 000 répétitions. Compléter : 
    def estimation(N):
    compteur = 0
    for i in range(N):
        nb_piles = ...    # 100 lancers
        if nb_piles >= 40:
            compteur = ...
    return ...

9 Géométrie dans l'espace

Repère orthonormé. \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\) et \(D(1;1;1)\).

  1. Montrer que \(A, B, C\) définissent un plan \(P\).
  2. Vérifier que \(\vec{n}(1;1;1)\) est normal à \(P\). Équation cartésienne ?
  3. \(D\) appartient-il à \(P\) ?
  4. Représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(D\) orthogonale à \(P\).
  5. Coordonnées du point d'intersection \(H\) de \(\Delta\) et \(P\). Distance \(DH\) ?

10 Optimisation

Coût total : \(C(x) = x^3 - 12x^2 + 50x\) (en k€), pour \(x\) milliers d'objets (\(0 \leq x \leq 8\)). Prix de vente : 40 k€ le millier.

  1. Exprimer la recette \(R(x)\) et le bénéfice \(B(x)\).
  2. Calculer \(B'(x)\) et étudier les variations de \(B\) sur \([0;8]\).
  3. Production pour un bénéfice maximal ? Valeur de ce bénéfice ?

1 Corrigé – Second degré

  1. \(\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2\). \[x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \quad ; \quad x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2\]
  2. \(P(x) = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2) = (2x + 1)(x - 2)\).
  3. \(\Delta = 25 - 24 = 1\), racines \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Coefficient de \(x^2\) négatif. \[-x^2 + 5x - 6 \geq 0 \iff x \in [2;3]\]
  4. Une unique solution réelle \(\iff \Delta = 0 \iff m^2 - 36 = 0 \iff m = \pm 6\).
🔹 Vérifier le signe du coefficient dominant pour le signe du trinôme. Ne pas oublier les deux valeurs de \(m\).

2 Corrigé – Suites et capitalisation

  1. \((C_n)\) géométrique de raison \(q = 1{,}03\), \(C_0 = 10\,000\). \[C_n = 10\,000 \times 1{,}03^n\]
  2. \(10\,000 \times 1{,}03^n \geq 15\,000 \iff 1{,}03^n \geq 1{,}5\). \[n \geq \frac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}03} \approx 13{,}7 \Rightarrow n = 14 \text{ ans}\]
    1. \(V_{n+1} = U_{n+1} - \frac{20\,000}{3} = 1{,}03U_n - 200 - \frac{20\,000}{3} = 1{,}03V_n\). \((V_n)\) géométrique de raison \(1{,}03\).
    2. \(V_0 = 10\,000 - \frac{20\,000}{3} = \frac{10\,000}{3}\). \(V_n = \frac{10\,000}{3} \times 1{,}03^n\). \[U_n = V_n + \frac{20\,000}{3}\]
    3. \(1{,}03 > 1 \Rightarrow V_n \to +\infty \Rightarrow U_n \to +\infty\). Le capital finit par croître indéfiniment.
🔹 Un algorithme de seuil peut aussi être utilisé pour la question 2.

3 Corrigé – Fonction exponentielle

  1. \(A = e^{2x} \cdot e^{-3x+1} \cdot e^{2(x-1)} = e^{2x - 3x + 1 + 2x - 2} = e^{x - 1}\).
  2. \(e^{x^2-4} = e^{3x} \iff x^2 - 4 = 3x \iff x^2 - 3x - 4 = 0 \iff x = -1 \text{ ou } x = 4\).
    1. \(f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-2)e^x = (x-1)e^x\). Signe de \(f'\) = signe de \(x-1\). Décroissante sur \(]-\infty;1]\), croissante sur \([1;+\infty[\).
    2. Tableau de variation : minimum en \(x=1\), \(f(1) = -e\) ; limites : 0 en \(-\infty\), \(+\infty\) en \(+\infty\).
🔹 Penser que \(e^x > 0\) pour justifier le signe de la dérivée.

4 Corrigé – Trigonométrie

  1. \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \iff x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\). Dans \(]-\pi;\pi]\) : \(\frac{5\pi}{6}\) et \(-\frac{5\pi}{6}\).
  2. \(\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \iff 2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\). Dans \([0;\pi]\) : \(x = \frac{\pi}{8}\) et \(x = \frac{3\pi}{8}\).
    1. \(g'(x) = \cos x - \sin x\). Sur \([0;\pi/2]\), \(g'(x) \geq 0 \iff \cos x \geq \sin x \iff x \leq \pi/4\).
    2. Maximum en \(\pi/4\) : \(g(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).
🔹 Toujours vérifier le domaine des solutions avec un cercle trigonométrique.

5 Corrigé – Produit scalaire

  1. \(AB = 3\sqrt{2}\), \(AC = \sqrt{17}\), \(BC = \sqrt{17}\). Triangle isocèle en \(C\).
  2. Vecteur \(\overrightarrow{BC} = (1;4)\). Hauteur issue de \(A\) : \(1(x-1) + 4(y-2) = 0 \iff x + 4y - 9 = 0\).
  3. Équation de \((BC)\) : \(4x - y - 17 = 0\). Intersection : \(H\left(\frac{77}{17}; \frac{19}{17}\right)\).
  4. Aire = \(\frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times \sqrt{17} \times \frac{15}{\sqrt{17}} = 7{,}5\) u.a.
🔹 Vérifier les calculs de déterminants et simplifier les racines.

6 Corrigé – Probabilités conditionnelles

  1. \(P(V \cup A) = 0{,}4 + 0{,}25 - 0{,}15 = 0{,}50\).
  2. \(P_V(A) = \frac{0{,}15}{0{,}4} = 0{,}375\).
  3. \(P(V) \times P(A) = 0{,}10 \neq 0{,}15\) : non indépendants.
  4. \(X \sim \mathcal{B}(5; 0{,}4)\). \(P(X=3) = \binom{5}{3}(0{,}4)^3(0{,}6)^2 = 0{,}2304\).
🔹 Bien distinguer probabilité conditionnelle et intersection.

7 Corrigé – Loi binomiale

  1. \(S \in \{2,\dots,12\}\). Probabilités : \(p_2 = p_{12} = 1/36\), \(p_3 = p_{11} = 2/36\), \(p_4 = p_{10} = 3/36\), \(p_5 = p_9 = 4/36\), \(p_6 = p_8 = 5/36\), \(p_7 = 6/36\).
  2. \(E(S) = 7\). \(V(S) = \frac{35}{6} \approx 5{,}833\).
    1. \(X \sim \mathcal{B}(8; 1/6)\).
    2. \(P(X=2) = \binom{8}{2}(1/6)^2(5/6)^6 \approx 0{,}260\). \(P(X \geq 1) = 1 - (5/6)^8 \approx 0{,}767\).
🔹 Identifier clairement le succès : \(S=7\) de probabilité \(1/6\).

8 Corrigé – Algorithmique

  1. import random
def une_experience(n):
    cpt = 0
    for i in range(n):
        if random.random() < 0.3:
            cpt += 1
    return cpt
  2. def estimation(N):
    compteur = 0
    for i in range(N):
        nb_piles = une_experience(100)
        if nb_piles >= 40:
            compteur += 1
    return compteur / N
    Cette fréquence approche \(P(Y \geq 40)\) où \(Y \sim \mathcal{B}(100; 0{,}3)\).
🔹 La loi des grands nombres garantit la convergence de la fréquence vers la probabilité théorique.

9 Corrigé – Géométrie dans l'espace

  1. \(\overrightarrow{AB} = (-1;1;0)\), \(\overrightarrow{AC} = (-1;0;1)\) non colinéaires \(\Rightarrow\) plan \(P\).
  2. \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} = -1+1+0=0\), \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} = -1+0+1=0\). \(\vec{n}\) normal. Équation : \(x+y+z-1=0\).
  3. \(1+1+1-1=2 \neq 0\), \(D \notin P\).
  4. \(\Delta\) : \(x=1+t, y=1+t, z=1+t\) (\(t \in \mathbb{R}\)).
  5. Intersection : \(3(1+t)-1=0 \Rightarrow t = -2/3\). \(H(1/3;1/3;1/3)\). \(DH = \frac{2\sqrt{3}}{3}\).
🔹 Le produit scalaire nul avec deux vecteurs non colinéaires du plan prouve que \(\vec{n}\) est normal.

10 Corrigé – Optimisation

  1. \(R(x) = 40x\). \(B(x) = 40x - (x^3 - 12x^2 + 50x) = -x^3 + 12x^2 - 10x\).
  2. \(B'(x) = -3x^2 + 24x - 10\). \(\Delta = 456\). Racines : \(x_1 \approx 0{,}44\) et \(x_2 \approx 7{,}56\). \(B\) croissante sur \([x_1;x_2]\), décroissante ailleurs.
  3. Maximum en \(x = 4 + \frac{\sqrt{114}}{3} \approx 7{,}56\) milliers d'objets. \(B_{\max} \approx 168\) k€.
🔹 Toujours vérifier que le maximum trouvé appartient bien à l'intervalle d'étude \([0;8]\).

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