Entrainement (spécialité)

Publié le 23 juin 2026 à 10:50

Vous préparez un contrôle, une évaluation ou l’épreuve anticipée de mathématiques ? Cette page rassemble des exercices d’entraînement en maths niveau Première, conçus pour vous aider à maîtriser les notions essentielles du programme.

Retrouvez des exercices variés et progressifs sur les fonctions, les suites, les probabilités, la dérivation, la trigonométrie ou encore les automatismes attendus au baccalauréat. Les exercices réguliers constituent l’un des moyens les plus efficaces pour acquérir les réflexes nécessaires à la réussite des épreuves.

Chaque exercice est accompagné d'un corrigé détaillé avec des commentaires pédagogiques qui vous aideront à comprendre les méthodes de résolution et à éviter les erreurs les plus fréquentes. Que vous soyez en début de révision ou à la recherche d'un défi stimulant, ces 5 devoirs sont l'outil idéal pour arriver sereinement le jour de l'examen.

5 Devoirs Progressifs - Maths Première

📐 5 Devoirs Progressifs avec Corrigés Détaillés

Spécialité Mathématiques Première · Du niveau très facile au niveau très difficile

📘 Devoir 1 · Second degré, Suites, Exponentielle, Trigonométrie, Produit scalaire

1 Très facile Second degré

Résoudre l'équation \(x^2 - 5x + 6 = 0\) puis donner la forme factorisée de \(x^2 - 5x + 6\).

2 Facile Suites géométriques

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 100\) et \(u_{n+1} = 0{,}8\,u_n\).

  1. Donner la nature et les éléments caractéristiques de \((u_n)\).
  2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  3. Calculer \(u_5\) et déterminer à partir de quel rang \(u_n < 10\).

3 Moyen Fonction exponentielle

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^{2x} - 4e^x + 3\).

  1. Factoriser \(f(x)\) sous la forme \((e^x - a)(e^x - b)\).
  2. Résoudre \(f(x) = 0\).
  3. En déduire l'équation de l'asymptote horizontale en \(-\infty\).

4 Difficile Trigonométrie et dérivation

Soit \(g(x) = 2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos(2x)\) sur \(\mathbb{R}\).

  1. Simplifier \(g(x)\) à l'aide d'une formule trigonométrique.
  2. Calculer \(g'(x)\) et résoudre \(g'(x) = 0\) sur \([0 ; \pi]\).
  3. Dresser le tableau de variation de \(g\) sur \([0 ; \pi]\) et préciser son maximum.

5 Très difficile Produit scalaire et optimisation géométrique

Dans un repère orthonormé, \(A(2;1)\), \(B(6;2)\), \(C(5;5)\). \(M\) est un point du segment \([AB]\). On note \(x\) la distance \(AM\).

  1. Déterminer une équation paramétrique de \((AB)\) et exprimer les coordonnées de \(M\) en fonction de \(x\).
  2. Calculer l'aire du triangle \(MBC\) en fonction de \(x\).
  3. Pour quelle position de \(M\) cette aire est-elle maximale ? Valeur ?

1 Très facile Corrigé – Second degré

\(\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1\).

Racines : \(x_1 = \frac{5-1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{5+1}{2} = 3\).

Factorisation : \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).

🔹 Vérifier toujours le discriminant et la forme factorisée.

2 Facile Corrigé – Suites géométriques

  1. Suite géométrique de raison \(q = 0{,}8\) et \(u_0 = 100\).
  2. \(u_n = 100 \times 0{,}8^n\).
  3. \(u_5 = 100 \times 0{,}8^5 = 32{,}768\).
    \(u_n < 10 \iff 0{,}8^n < 0{,}1\). \(0{,}8^{10} \approx 0{,}107\), \(0{,}8^{11} \approx 0{,}086\) ⇒ \(n \geq 11\).
🔹 Un algorithme de seuil peut aussi répondre à la question 3.

3 Moyen Corrigé – Fonction exponentielle

  1. \(f(x) = (e^x)^2 - 4e^x + 3 = (e^x - 1)(e^x - 3)\).
  2. \(f(x)=0 \iff e^x = 1\) ou \(e^x = 3 \iff x = 0\) ou \(x = \ln 3\).
  3. \(\lim_{x\to -\infty} e^x = 0 \Rightarrow \lim f(x) = 3\). Asymptote horizontale : \(y = 3\).
🔹 Le changement de variable \(X = e^x\) simplifie la factorisation.

4 Difficile Corrigé – Trigonométrie

  1. \(g(x) = \sin(2x) - \sqrt{3}\cos(2x)\).
  2. \(g'(x) = 2\cos(2x) + 2\sqrt{3}\sin(2x) = 2[\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x)]\).
    \(g'(x)=0 \iff \cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0 \iff \tan(2x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}\).
    Sur \([0;\pi]\) : \(x = \frac{5\pi}{12}\) et \(x = \frac{11\pi}{12}\).
  3. Maximum \(g(\frac{5\pi}{12}) = 2\), minimum \(g(\frac{11\pi}{12}) = -2\).
🔹 Utiliser les formules de duplication et la mise sous forme \(A\cos(2x-\varphi)\).

5 Très difficile Corrigé – Produit scalaire

  1. \(\overrightarrow{AB} = (4;1)\). \(M = A + t\overrightarrow{AB}\), \(t \in [0;1]\). \(AM = t\cdot AB = t\sqrt{17}\) ⇒ \(t = x/\sqrt{17}\).
    \(M(2 + 4x/\sqrt{17}; 1 + x/\sqrt{17})\).
  2. Aire \(MBC = \frac{1}{2}|\det(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BC})| = \frac{13}{2}(1 - x/\sqrt{17})\).
  3. Fonction affine décroissante de \(x\) ⇒ maximum en \(x=0\) (en \(A\)). Aire max = \(13/2 = 6{,}5\) u.a.
🔹 Bien paramétrer le segment et calculer le déterminant.
📙 Devoir 2 · Probabilités conditionnelles, Loi binomiale, Algorithmique, Géométrie espace, Optimisation

1 Très facile Probabilités conditionnelles

Dans une classe de 30 élèves, 18 étudient l'anglais, 12 l'espagnol, 6 les deux. On interroge un élève au hasard.

  1. Probabilité qu'il étudie l'anglais ou l'espagnol ?
  2. Probabilité qu'il étudie l'espagnol sachant qu'il étudie l'anglais ?

2 Facile Loi binomiale

On lance 4 fois une pièce équilibrée. \(X\) = nombre de Pile.

  1. Quelle loi suit \(X\) ? Paramètres ?
  2. Calculer \(P(X=2)\) et \(P(X \geq 1)\).

3 Moyen Algorithmique et simulation

Pièce truquée : \(P(\text{Pile}) = 0{,}4\).

Écrire une fonction Python simulation(N) qui simule \(N\) lancers et renvoie la fréquence de Pile obtenue.

4 Difficile Géométrie dans l'espace

Repère orthonormé. \(A(1;2;3)\), \(B(2;0;1)\), \(C(-1;1;2)\), \(D(3;-1;4)\).

  1. Vecteur normal au plan \((ABC)\) ? Équation cartésienne de \((ABC)\) ?
  2. \(D\) appartient-il à \((ABC)\) ?
  3. Coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(D\) sur \((ABC)\).
  4. Distance de \(D\) au plan \((ABC)\).

5 Très difficile Optimisation avec exponentielle

Bénéfice : \(B(q) = (2q-5)e^{-0{,}2q} + 5\) (en k€), \(q \in [0;10]\) centaines d'objets.

  1. Montrer que \(B'(q) = (3 - 0{,}4q)e^{-0{,}2q}\).
  2. Étudier les variations et déterminer \(q\) optimal.
  3. Bénéfice maximal arrondi à 10 € près.

1 Très facile Corrigé – Probabilités conditionnelles

  1. \(P(A \cup E) = \frac{18}{30} + \frac{12}{30} - \frac{6}{30} = \frac{24}{30} = 0{,}8\).
  2. \(P_E(A) = \frac{6/30}{12/30} = 0{,}5\).
🔹 Appliquer directement les formules du cours.

2 Facile Corrigé – Loi binomiale

  1. \(X \sim \mathcal{B}(4; 0{,}5)\).
  2. \(P(X=2) = \binom{4}{2}(0{,}5)^4 = 6 \times 0{,}0625 = 0{,}375\).
    \(P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}5^4 = 0{,}9375\).
🔹 Vérifier la symétrie de la loi binomiale pour \(p=0{,}5\).

3 Moyen Corrigé – Algorithmique

import random

def simulation(N):
    compteur = 0
    for i in range(N):
        if random.random() < 0.4:
            compteur += 1
    return compteur / N
🔹 random.random() génère un nombre dans \([0;1[\), on compare à la probabilité souhaitée.

4 Difficile Corrigé – Géométrie espace

  1. \(\overrightarrow{AB}=(1;-2;-2)\), \(\overrightarrow{AC}=(-2;-1;-1)\). \(\vec{n} = \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = (0;5;-5) \parallel (0;1;-1)\).
    Plan : \(y - z + 1 = 0\).
  2. \(D(3;-1;4)\) : \(-1 - 4 + 1 = -4 \neq 0\) ⇒ \(D \notin P\).
  3. \(\Delta\) : \(x=3, y=-1+t, z=4-t\). Intersection : \(t=2\) ⇒ \(H(3;1;2)\).
  4. \(DH = \sqrt{0+4+4} = 2\sqrt{2}\).
🔹 Le produit vectoriel donne un vecteur normal. Simplifier si possible.

5 Très difficile Corrigé – Optimisation

  1. \(B'(q) = 2e^{-0{,}2q} + (2q-5)(-0{,}2e^{-0{,}2q}) = e^{-0{,}2q}(3 - 0{,}4q)\).
  2. \(B'\) s'annule en \(q = 7{,}5\). Croissante sur \([0;7{,}5]\), décroissante ensuite.
  3. \(B(7{,}5) = 10e^{-1{,}5} + 5 \approx 7{,}231\) k€, soit 7 231 €.
🔹 Factoriser la dérivée par \(e^{-0{,}2q}\) qui est toujours strictement positif.
📗 Devoir 3 · Suites récurrentes, Exponentielle, Probabilités, Géométrie repérée, Trigonométrie

1 Très facile Suites

\((v_n)\) définie par \(v_0 = 5\) et \(v_{n+1} = 2v_n - 3\).

  1. On pose \(w_n = v_n - 3\). Montrer que \((w_n)\) est géométrique.
  2. Exprimer \(w_n\) puis \(v_n\) en fonction de \(n\).

2 Facile Exponentielle et équation

Résoudre \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\) en posant \(X = e^x\). En déduire les solutions de \(e^{2x-1} - 5e^{x-1} + 6 = 0\).

3 Moyen Probabilités conditionnelles

Urne : 3 boules rouges, 2 bleues. Tirage sans remise de 2 boules.

  1. Construire l'arbre des probabilités.
  2. Probabilité que les deux boules soient de la même couleur ?
  3. \(R_1\) : « 1ère boule rouge », \(M\) : « même couleur ». Indépendants ?

4 Difficile Géométrie repérée

\(A(0;4)\), \(B(2;-1)\), droite \(d\) : \(2x - y + 5 = 0\).

  1. Projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \(d\).
  2. Distance de \(A\) à \(d\).
  3. Points \(M\) de \(d\) tels que \(ABM\) rectangle en \(M\).

5 Très difficile Fonction trigonométrique

\(f(x) = \sin x + \cos^2 x\) sur \([0;\pi]\).

  1. Montrer que \(f'(x) = \cos x(1 - 2\sin x)\).
  2. Signe de \(f'(x)\) et variations de \(f\).
  3. Extremums locaux et globaux (valeurs exactes).

1 Très facile Corrigé – Suites

  1. \(w_{n+1} = v_{n+1} - 3 = 2v_n - 6 = 2(v_n-3) = 2w_n\). \((w_n)\) géométrique de raison 2, \(w_0=2\).
  2. \(w_n = 2^{n+1}\), \(v_n = 2^{n+1} + 3\).
🔹 Méthode classique de la suite arithmético-géométrique.

2 Facile Corrigé – Exponentielle

\(X^2 - 5X + 6 = 0 \Rightarrow X = 2\) ou \(X = 3\). Donc \(x = \ln 2\) ou \(x = \ln 3\).

Pour la seconde équation, poser \(Y = e^{x-1}\) : mêmes solutions en \(Y\) donc \(x = 1 + \ln 2\) ou \(x = 1 + \ln 3\).

🔹 Le changement de variable est la clé pour les équations avec exponentielle.

3 Moyen Corrigé – Probabilités

  1. Tirage 1 : R (3/5), B (2/5). Tirage 2 : si R → 2R,2B ; si B → 3R,1B.
  2. \(P(\text{même}) = \frac{3}{5}\times\frac{2}{4} + \frac{2}{5}\times\frac{1}{4} = 0{,}4\).
  3. \(P(R_1)\times P(M) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24 \neq P(R_1 \cap M) = 0{,}3\) ⇒ non indépendants.
🔹 Toujours vérifier l'indépendance par le produit.

4 Difficile Corrigé – Géométrie repérée

  1. \(\Delta \perp d\) passant par \(A\) : \(x=2t, y=4-t\). Intersection avec \(d\) : \(t=-1/5\) ⇒ \(H(-0{,}4; 4{,}2)\).
  2. \(AH = \sqrt{0{,}2} = \frac{\sqrt{5}}{5}\).
  3. \(M(x;2x+5)\). \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \Rightarrow 5x^2 + 12x + 6 = 0\). \(\Delta=24\), deux solutions : \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{6}}{5}\).
🔹 Paramétrer la droite pour résoudre l'équation de produit scalaire nul.

5 Très difficile Corrigé – Trigonométrie

  1. \(f'(x) = \cos x - 2\sin x \cos x = \cos x(1 - 2\sin x)\).
  2. Signe analysé sur \([0;\pi]\) : croissante sur \([0;\pi/6]\) et \([\pi/2;5\pi/6]\), décroissante ailleurs.
  3. Max globaux en \(\pi/6\) et \(5\pi/6\) : \(f = 5/4\). Min global : \(f = 1\) en \(0, \pi/2, \pi\).
🔹 Étude fine du signe avec le cercle trigonométrique.
📕 Devoir 4 · Second degré, Loi binomiale, Suites et algorithme, Trigonométrie, Exponentielle paramétrée

1 Très facile Second degré

Déterminer le discriminant de \(3x^2 - x - 2 = 0\) et préciser le nombre de solutions réelles.

2 Facile Loi binomiale

Urne : 6 rouges, 4 vertes. Tirage avec remise de 5 boules. \(X\) = nombre de rouges.

  1. Loi de \(X\) et paramètres ?
  2. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).

3 Moyen Suites et algorithme

\(a_0 = 2\), \(a_{n+1} = 1{,}5a_n - 100\).

  1. Écrire une fonction rang_seuil(S) renvoyant le plus petit \(n\) tel que \(a_n \geq S\).
  2. Déterminer la limite de \((a_n)\). Interpréter.

4 Difficile Trigonométrie et produit scalaire

\(f(x) = \cos x + \sqrt{3}\sin x\) sur \(\mathbb{R}\).

  1. Mettre \(f(x)\) sous la forme \(A\cos(x - \varphi)\).
  2. Résoudre \(f(x) = 1\) sur \([-\pi;\pi]\).
  3. Interpréter géométriquement le maximum de \(f\) avec le produit scalaire.

5 Très difficile Exponentielle et paramètre

\(f_m(x) = e^x - mx\), \(m \in \mathbb{R}\).

  1. Étudier les variations de \(f_m\) selon les valeurs de \(m\).
  2. Déterminer selon \(m\) le nombre de solutions de \(f_m(x) = 0\).

1 Très facile Corrigé – Second degré

\(\Delta = (-1)^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 1 + 24 = 25 > 0\) ⇒ deux solutions réelles distinctes.

🔹 Un discriminant positif implique toujours deux racines réelles.

2 Facile Corrigé – Loi binomiale

  1. \(X \sim \mathcal{B}(5; 0{,}6)\).
  2. \(E(X) = 5 \times 0{,}6 = 3\). \(V(X) = 5 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 1{,}2\).
🔹 Toujours vérifier la probabilité de succès (6/10 = 0,6).

3 Moyen Corrigé – Suites et algorithme

  1. def rang_seuil(S):
    a = 2
    n = 0
    while a < S:
        a = 1.5 * a - 100
        n += 1
    return n
  2. Suite arithmético-géométrique. Point fixe : 200. Raison \(1{,}5 > 1\) ⇒ divergence vers \(+\infty\). L'algorithme s'arrête toujours pour \(S\) assez grand.
🔹 Ne pas oublier la condition d'arrêt de la boucle while.

4 Difficile Corrigé – Trigonométrie

  1. \(f(x) = 2\left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = 2\cos(x - \pi/3)\). \(A=2\), \(\varphi=\pi/3\).
  2. \(f(x)=1 \iff \cos(x-\pi/3)=1/2 \iff x = 0\) ou \(x = 2\pi/3\) sur \([-\pi;\pi]\).
  3. \(f(x) = (\cos x,\sin x)\cdot(1,\sqrt{3})\). Maximum = norme de \((1,\sqrt{3}) = 2\), atteint quand les vecteurs sont colinéaires et de même sens.
🔹 L'interprétation géométrique relie produit scalaire et optimisation.

5 Très difficile Corrigé – Exponentielle paramétrée

  1. \(f_m'(x) = e^x - m\).
    • Si \(m \leq 0\) : \(f_m'(x) > 0\) sur \(\mathbb{R}\).
    • Si \(m > 0\) : \(f_m'\) s'annule en \(\ln m\). Minimum en \(\ln m\).
  2. Nombre de solutions de \(f_m(x)=0\) :
    • \(m \leq 0\) : 1 solution
    • \(0 < m < 1\) : 0 solution
    • \(m = 1\) : 0 solution
    • \(1 < m < e\) : 2 solutions
    • \(m = e\) : 1 solution
    • \(m > e\) : 2 solutions
🔹 Discussion fine : le signe du minimum \(f_m(\ln m) = m(1 - \ln m)\) est déterminant.
📓 Devoir 5 · Trigonométrie, Dérivation, Probabilités/Bayes, Géométrie espace, Suite convergente

1 Très facile Trigonométrie

Résoudre \(\sin x = \frac{1}{2}\) dans \(\mathbb{R}\), puis dans \([0;2\pi[\).

2 Facile Dérivation et exponentielle

Dériver \(f(x) = 3e^{2x} - xe^x\) et simplifier l'expression.

3 Moyen Probabilités et test diagnostique

Population : 20 % malades. Test positif chez 95 % des malades, 10 % des non-malades.

  1. Probabilité qu'une personne ait un test positif ?
  2. Probabilité d'être malade si test positif ?
  3. Sur 10 personnes, probabilité qu'au moins une soit malade ?

4 Difficile Géométrie espace et optimisation

\(A(1;0;2)\), \(B(0;1;2)\), \(C(2;1;1)\).

  1. Vérifier que \(ABC\) est rectangle en \(A\).
  2. Équation du plan \(P = (ABC)\).
  3. \(M\) sur \((AB)\). Exprimer \(CM^2\) en fonction d'un paramètre.
  4. Position de \(M\) rendant \(CM\) minimale. Distance minimale ?

5 Très difficile Suite récurrente et convergence

\(u_0 = 1\), \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\).

  1. Montrer par récurrence que \(0 \leq u_n \leq 3\).
  2. Étudier les variations de \((u_n)\).
  3. En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

1 Très facile Corrigé – Trigonométrie

\(\sin x = \frac{1}{2} \iff x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\). Dans \([0;2\pi[\) : \(\frac{\pi}{6}\) et \(\frac{5\pi}{6}\).

🔹 Connaître par cœur les valeurs remarquables du sinus.

2 Facile Corrigé – Dérivation

\(f'(x) = 6e^{2x} - (e^x + xe^x) = 6e^{2x} - e^x(1 + x) = e^x(6e^x - 1 - x)\).

🔹 Dérivée du produit : \((uv)' = u'v + uv'\).

3 Moyen Corrigé – Probabilités

  1. \(P(T) = 0{,}2 \times 0{,}95 + 0{,}8 \times 0{,}10 = 0{,}27\).
  2. \(P_T(M) = \frac{0{,}19}{0{,}27} \approx 0{,}704\).
  3. \(X \sim \mathcal{B}(10; 0{,}2)\). \(P(X \geq 1) = 1 - 0{,}8^{10} \approx 0{,}893\).
🔹 Formule de Bayes pour la valeur prédictive positive.

4 Difficile Corrigé – Géométrie espace

  1. \(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;1;-1)\). Produit scalaire nul ⇒ rectangle en \(A\).
  2. \(\vec{n} = (1;1;2)\) (via produit vectoriel simplifié). Équation : \(x + y + 2z - 5 = 0\).
  3. \(M = A + t\overrightarrow{AB} = (1-t; t; 2)\). \(CM^2 = 2t^2 + 3\).
  4. Minimum en \(t=0\) ⇒ \(M = A\). Distance minimale = \(\sqrt{3}\).
🔹 Optimisation d'une fonction quadratique simple après paramétrage.

5 Très difficile Corrigé – Suite convergente

  1. Initialisation : \(u_0 = 1 \in [0;3]\). Hérédité : si \(0 \leq u_n \leq 3\), alors \(2u_n+3 \in [3;9]\) et \(u_{n+1} \in [\sqrt{3};3] \subset [0;3]\).
  2. \(u_{n+1} - u_n = \sqrt{2u_n+3} - u_n \geq 0\) sur \([0;3]\) (car \(x^2 - 2x - 3 \leq 0\)). \((u_n)\) croissante.
  3. Croissante et majorée par 3 ⇒ convergence vers \(\ell \in [0;3]\) vérifiant \(\ell = \sqrt{2\ell+3} \Rightarrow \ell = 3\).
🔹 La récurrence et le théorème de convergence monotone sont les deux piliers de ce type d'exercice.

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