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Cercle trigonométrique et mesure en radian

La trigonométrie repose sur le cercle de rayon 1 centré à l'origine du repère. Il permet d'étendre les notions d'angle à tous les réels.

Cercle trigonométrique : C'est le cercle de centre $O(0;0)$ et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Le radian

En Première, on mesure les angles en radians (rad). Un angle de 1 radian correspond à la longueur de l'arc égale au rayon. Un tour complet mesure $2\pi$ rad. On a la correspondance :

$\pi$ rad = 180°
$\dfrac{\pi}{2}$ rad = 90°
$\dfrac{\pi}{3}$ rad = 60°
$\dfrac{\pi}{4}$ rad = 45°
$\dfrac{\pi}{6}$ rad = 30°

Enroulement de la droite réelle : On peut enrouler la droite des réels autour du cercle : chaque réel $x$ correspond à un point unique du cercle (modulo $2\pi$). Ce point a pour coordonnées $(\cos x; \sin x)$.

Exemple : Le réel $\pi/4$ correspond au point $M$ du cercle de coordonnées $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. On a $\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

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Les fonctions cosinus et sinus

Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont définies sur $\mathbb{R}$ par les coordonnées du point image sur le cercle trigonométrique.

Définitions : Pour tout réel $x$,

$\cos x$ est l'abscisse du point image de $x$ sur le cercle trigonométrique.
$\sin x$ est l'ordonnée de ce même point.

On a la relation fondamentale : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ pour tout $x$.

Valeurs remarquables à connaître par cœur

$x$ (rad)	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

Astuce mnémotechnique : Pour les valeurs $\cos$ de $0$ à $\pi/2$, on lit $\sqrt{4}/2$, $\sqrt{3}/2$, $\sqrt{2}/2$, $\sqrt{1}/2$, $0$. Pour $\sin$, on fait l'inverse.

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Propriétés : parité, périodicité

Périodicité : Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont périodiques de période $2\pi$. Pour tout réel $x$ et tout entier $k$, $$\cos(x + 2k\pi) = \cos x, \quad \sin(x + 2k\pi) = \sin x.$$

Parité :

$\cos$ est une fonction paire : $\cos(-x) = \cos x$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$\sin$ est une fonction impaire : $\sin(-x) = -\sin x$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Exemple : $\cos(-\pi/3) = \cos(\pi/3) = 1/2$, tandis que $\sin(-\pi/3) = -\sin(\pi/3) = -\sqrt{3}/2$.

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Dérivées des fonctions cosinus et sinus

Dérivées :

$(\cos x)' = -\sin x$
$(\sin x)' = \cos x$

Si l'on a une fonction composée $f(ax+b)$, on applique la règle : $[\cos(ax+b)]' = -a \sin(ax+b)$, et $[\sin(ax+b)]' = a \cos(ax+b)$.

Exemple : Dériver $g(x) = \cos(2x - \frac{\pi}{4})$.
$g'(x) = -2 \sin(2x - \frac{\pi}{4})$.

Méthode : Pour étudier les variations d'une fonction trigonométrique, on dérive et on étudie le signe de la dérivée. On peut aussi utiliser la périodicité pour réduire l'intervalle d'étude.

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Équations $\cos x = \cos a$ et $\sin x = \sin a$

Pour résoudre une équation trigonométrique, on utilise les solutions du cercle trigonométrique.

Équation en cosinus : $$\cos x = \cos a \iff \left\{ \begin{array}{l} x = a + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\\ \text{ou} \quad x = -a + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \end{array} \right.$$

Équation en sinus : $$\sin x = \sin a \iff \left\{ \begin{array}{l} x = a + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\\ \text{ou} \quad x = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \end{array} \right.$$

Méthode : On identifie la valeur $a$ (souvent un angle remarquable), puis on écrit les deux familles de solutions. Si on cherche les solutions dans un intervalle donné, on détermine les valeurs de $k$ qui conviennent.

Exemple 1 : Résoudre $\cos x = \frac{1}{2}$ dans $\mathbb{R}$.
$\frac{1}{2} = \cos(\pi/3)$, donc $x = \pi/3 + 2k\pi$ ou $x = -\pi/3 + 2k\pi$.

Exemple 2 : Résoudre $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $[-\pi;\pi]$.
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\pi/4)$, donc $x = \pi/4 + 2k\pi$ ou $x = \pi - \pi/4 + 2k\pi = 3\pi/4 + 2k\pi$. Dans $[-\pi;\pi]$, les solutions sont $x = \pi/4$ et $x = 3\pi/4$ (pour $k=0$). Les autres valeurs de $k$ donnent des résultats hors de l'intervalle.

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Exercices corrigés

Exercice 1 – Valeurs remarquables et parité

Calculer $\cos(-5\pi/6)$ et $\sin(7\pi/4)$ sans calculatrice.

Corrigé :
$\cos(-5\pi/6) = \cos(5\pi/6)$ (parité). Or $\cos(5\pi/6) = -\cos(\pi/6) = -\sqrt{3}/2$.
$\sin(7\pi/4) = \sin(2\pi - \pi/4) = -\sin(\pi/4) = -\sqrt{2}/2$.

Exercice 2 – Dérivation

Soit $f(x) = x \sin x$. Calculer $f'(x)$.

Corrigé : $u(x)=x$, $u'(x)=1$ ; $v(x)=\sin x$, $v'(x)=\cos x$. $f'(x) = 1\cdot\sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x\cos x$.

Exercice 3 – Équation $\cos(2x) = \cos(\frac{\pi}{3})$

Résoudre dans $\mathbb{R}$.

Corrigé : $\cos(2x) = \cos(\pi/3) \iff 2x = \pi/3 + 2k\pi$ ou $2x = -\pi/3 + 2k\pi$. Donc $x = \pi/6 + k\pi$ ou $x = -\pi/6 + k\pi$.

Exercice 4 – Résolution sur un intervalle

Résoudre $\sin x = -\frac{1}{2}$ pour $x \in [0; 2\pi]$.

Corrigé : $-\frac{1}{2} = \sin(-\pi/6)$. Donc $x = -\pi/6 + 2k\pi$ ou $x = \pi - (-\pi/6) + 2k\pi = 7\pi/6 + 2k\pi$. Dans $[0; 2\pi]$, on trouve $x = 7\pi/6$ et $x = 11\pi/6$ (pour $k=1$ dans la première famille).