Pourcentages et taux d'évolution / Mathématiques pour les non-spécialistes / Enseignement scientifique / Tronc commun / Première

Pourcentages et taux d'évolution

Les pourcentages constituent l'un des outils les plus importants du programme.

Calculer une proportion

Supposons qu'une classe comporte 30 élèves, dont 18 filles.

La proportion de filles est :

18/30 = 0,6

En pourcentage :

0,6 × 100 = 60%

Donc 60 % des élèves sont des filles.

Formule essentielle
proportion = effectif de la partie / effectif total

Passer d'une proportion à un pourcentage

Quelques conversions à connaître immédiatement :

0,1 = 10%

0,25 = 25%

0,5 = 50%

0,75 = 75%

0,2 = 20%

0,01 = 1%

Exemple

Dans une population de 2 500 personnes, 12 % utilisent le vélo pour se rendre au travail.

2500 × 0,12 = 300

Donc 300 personnes utilisent le vélo.

Taux d'évolution

Une quantité passe d'une valeur initiale (V_i) à une valeur finale (V_f).

t = (V_f − V_i) / V_i

Pour obtenir le résultat en pourcentage, on multiplie par 100.

Exemple

Le prix d'un article passe de 80 € à 92 €.

t = (92 − 80) / 80 = 12/80 = 0,15

Donc : t = 15%

Le prix a augmenté de 15 %.

Coefficient multiplicateur

Un taux d'évolution permet de déterminer un coefficient multiplicateur.

Augmentation de t%

CM = 1 + t

où t est écrit sous forme décimale.

augmentation de 10 % → CM = 1,10
augmentation de 25 % → CM = 1,25
augmentation de 8 % → CM = 1,08

Diminution de t

CM = 1 − t

diminution de 10 % → CM = 0,90
diminution de 20 % → CM = 0,80
diminution de 35 % → CM = 0,65

Formule générale
V_f = V_i × CM

Retrouver la valeur initiale

Si une quantité a augmenté de 20 %, alors :

V_f = 1,20 × V_i

Donc :

V_i = V_f / 1,20

Exemple

Après une augmentation de 20 %, un produit coûte 72 €.

V_i = 72 / 1,20 = 60 €

Le prix initial était donc de 60 €.

Évolutions successives

⚠️ Attention : deux évolutions successives ne s'additionnent généralement pas.

Une augmentation de 10 %, suivie d'une augmentation de 20 %, donne :

1,10 × 1,20 = 1,32

Le coefficient global est 1,32.

Le taux global est donc :

1,32 − 1 = 0,32 soit 32%

Ce n'est donc pas 30 %.

Taux d'évolution réciproque

Supposons qu'une quantité augmente de 25 %.

Le coefficient multiplicateur est :

1,25

Pour revenir à la valeur initiale, il faut multiplier par :

1 / 1,25 = 0,8

Il faut donc diminuer de 20 %.

une hausse de 25 % correspond à une baisse réciproque de 20 %

Les taux réciproques ne sont donc pas opposés.

À retenir – Pourcentages

t = (V_f − V_i) / V_i
V_f = V_i (1 + t)

Pour une augmentation de p% : CM = 1 + p/100
Pour une diminution de p% : CM = 1 − p/100

À retenir :

• Proportion = effectif de la partie / effectif total.
• Taux d'évolution = (V_f − V_i) / V_i.
• Coefficient multiplicateur : augmentation → 1 + t ; diminution → 1 − t.
• Évolutions successives : on multiplie les CM.
• Taux réciproque : 1 / CM (une hausse de 25% se compense par une baisse de 20%).

Pourcentages et taux d'évolution